1.9
Typical Sound Wave Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.9.1
Typical Sound Intensity in Normal Conversation . . . . . . 40
1.9.2
Loud Sounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Waves of Finite Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2
Finite Amplitude Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3
Change in Wave Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4
Formation of a Normal Shock Wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5
Time and Place of Formation of Discontinuity . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5.1
Example: Piston Moving with Uniform
Accelerated Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5.2
Example: Piston Moving with a Velocity
u ¼ at
n , n> 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.6
Another Form of the Equations: Riemann Invariants . . . . . . . . . . 59
2.6.1
Solution of some First-Order Partial Differential
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.6.2
Nonlinear Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.6.3
An Example of Nonlinear Distortion . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.6.4
The Breaking Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.7
Application of Riemann Invariants to Simple Flow Problems . . . . 73
2.7.1
Piston Withdrawal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.7.2
Piston Withdrawal at Constant Speed . . . . . . . . . . . . . . 77
2.7.3
Piston Moving into a Tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.7.4
Numerically Integrating the Equations of Motion
Based Riemann’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3 Conditions Across the Shock: The Rankine-Hugoniot Equations . . . 89
3.1
Introduction to Normal Shock Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2
Conservation Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2.1
Conservation of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2.2
Conservation of Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2.3
Conservation of Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3
Thermodynamic Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.4
Alternative Notation for the Conservation Equations
Across the Shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.5
A Very Weak Shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.6
Rankine-Hugoniot Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.6.1
Pressure and Density Changes for a
Weak Shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.7
Entropy Change of the Gas on Its Passage
Through a Shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
xii
Contents