M r
M
2
r À 1
¼
M i
M
2
i À 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 þ
2γ
γ þ 1
M
2
i À 1
À
Á
! γ þ 1 þ γ À 1 þ
2γ γÀ1
ð
Þ
γþ1
M
2
i À 1
À
Á
γ À 1 þ γ þ 1 þ 2γ M
2
i À 1
À
Á
v
u
u
t
and simplifying gives
M r
M
2
r À 1
¼
M i
M
2
i À 1
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 þ
2γ
γþ1 M
2
i À 1
À
Á
h
i
1 þ
γÀ1
γþ1
M
2
i À 1
À
Á
h
i
M
2
i
v
u
u
t
:
ð3:53Þ
Multiplying the quantities under the radical sign gives
1
M
2
i γ þ 1
ð
Þ
2
 γ þ 1
ð
Þ
2 þ γ
2
À 1
À
Á
M
2
i À 1
À
Á þ 2γ γ þ 1
ð
Þ M
2
i À 1
À
Á þ 2γ γ À 1
ð
Þ M
2
i À 1
À
Á 2
h
i
:
Adding and subtracting γ þ 1
ð
Þ
2 M
2
i in the numerator in the latter expression and
simplifying yields
1 þ 2
1 À γ À M
2
i þ 2γM
2
i À γ
2 M
2
i þ γ
2 M
4
i À γM
2
i
γ þ 1
ð
Þ
2 M
2
i
!
and dividing above and below by M
2
i we obtain
1 þ 2
1
M
2
i
À
γ
M
2
i
À 1 þ 2γ À γ
2
þ γ
2 M
2
i À γM
2
i
γ þ 1
ð
Þ
2
0
B
B
@
1
C
C
A
¼ 1 þ 2
γM
2
i γ À 1
ð
ÞÀγ γ À 1
ð
Þþ γ À 1
ð
ÞÀ
1
M
2
i
γ À 1
ð
Þ
γ þ 1
ð
Þ
2
2
6
6
4
3
7
7
5
¼ 1 þ
2 γ À 1
ð
Þ
γ þ 1
ð
Þ
2
γM
2
i À γ þ 1 À
1
M
2
i
¼ 1 þ
2 γ À 1
ð
Þ M
2
i À 1
À
Á γ þ
1
M
2
i
γ þ 1
ð
Þ
2
and with this substitution in Eq. (3.53) we have the following relationship between
the Mach numbers;
114
3 Conditions Across the Shock: The Rankine-Hugoniot Equations