S 2 À S 1
m
¼ c P ln x þ c V ln
γ þ 1
ð
ÞÀx γ À 1
ð
Þ
γ þ 1
ð
Þx À γ À 1
ð
Þ
or
S 2 À S 1
mc V
¼ γ ln x þ ln
γ þ 1
ð
ÞÀx γ À 1
ð
Þ
γ þ 1
ð
Þx À γ À 1
ð
Þ
:
ð3:21Þ
Let (S 2 À S 1 )/mc V ¼ F(x) then
F x
ð Þ ¼ γ ln x þ ln
γ þ 1
ð
ÞÀx γ À 1
ð
Þ
γ þ 1
ð
Þx À γ À 1
ð
Þ
:
ð3:22Þ
In the case of a sound wave we have already shown that U 1 ¼ U 2 ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
γRT
p
, so
that x ¼ 1 and hence, F(1) ¼ 0; implying no entropy change. By differentiating F(x),
we obtain
dF
dx
¼
γ
x
À
γ À 1
ð
Þ
γ þ 1
ð
ÞÀx γ À 1
ð
Þ
½
Š
À
γ þ 1
ð
Þ
γ þ 1
ð
Þx À γ À 1
ð
Þ
½
Š
¼
γ 2γ
2 x þ 2x À γ
2
þ 1 À γ
2 x
2
þ x
2
½
Š À 4γx
x γ þ 1
ð
ÞÀ γ À 1
ð
Þx
½
Šγ þ 1
ð
Þx À γ À 1
ð
Þ
½
Š
¼
γ 2x γ
2
À 1
ð
ÞÀ γ
2
À 1
ð
ÞÀx
2
γ
2
À 1
ð
Þ
½
Š
x γ þ 1
ð
ÞÀ γ À 1
ð
Þx
½
Šγ þ 1
ð
Þx À γ À 1
ð
Þ
½
Š
¼ À
γ γ
2
À 1
ð
Þ x À 1
ð
Þ
2
x γ þ 1
ð
ÞÀ γ À 1
ð
Þx
½
Šγ þ 1
ð
Þx À γ À 1
ð
Þ
½
Š
¼ À
γ x À 1
ð
Þ
2
x
γ þ 1
γ À 1
À x
!
x À
γ À 1
γ þ 1
!
ð3:23Þ
One can see that (dF/dx) x ¼ 1 ¼ 0 is the only extremum and dF/dx 0 in the range
γ À 1
γ þ 1
< x <
γ þ 1
γ À 1
and the only allowed values of x that satisfy the entropy condition, that is, 0 F
(x) < 1, are
γ À 1
γ þ 1
< x 1:
These assertions are shown plotted in Fig. 3.3 for γ ¼ 1.4.
3.7 Entropy Change of the Gas on Its Passage Through a Shock
101