Chapitre 4 – Séries numériques
Preuve
Il suffit de démontrer la première assertion, la seconde n’étant autre que la contraposée de la première.
Supposons donc que la série
bn est convergente. Puisque les premiers termes n’interviennent pas dans la
nature d’une série, on peut supposer sans perte de généralité que an bn, pour tout entier n.
Notons alors, pour tout entier naturel n, Sn =
n
k=0
a k et S
n =
n
k=0
b k . Il est immédiat que Sn S
n . La suite (S
n )
étant convergente, elle est majorée et donc la suite (Sn) est majorée ; d’après la proposition précédente, la série
an est convergente.
❑
➤ Remarque
Le lecteur est prié d’énoncer un résultat analogue pour les suites négatives.
Il est alors clair qu’il est plus qu’utile de connaître la nature de quelques séries, pour
pouvoir utiliser ce dernier théorème. Les séries de références — dont la nature et leur
somme éventuelle sont à connaître par cœur — sont
les séries géométriques (cf. page 88) ;
les séries « dérivées » des séries géométriques (cf. infra page 106) ;
les séries télescopiques (cf. page 88) ;
les séries exponentielles (cf. infra page 103).
Corollaire 1
Soit (a n ) et (b n ) deux suites réelles, positives à partir d’un certain rang.
On suppose que a n = o (b n ). Alors
si la série
b n est convergente, alors la série
a n est convergente ;
si la série
a n est divergente,
alors la série
b n est divergente.
Preuve
Rappelons que pour tout ´ strictement positif, il existe un rang n0 tel que pour tout entier n supérieur à n0 on
ait an ´bn. En choisissant ´ = 1, on conclut immédiatement en appliquant le théorème de comparaison. ❑
Règle des équivalents
Soit (a n ) et (b n ) deux suites réelles, telles que a n soit positifs à partir d’un certain rang, et que
a n ∼ b n .
Alors les séries
a n et
b n sont de même nature.
Preuve
Il s’agit de montrer que la série
an converge si, et seulement si, la série
bn converge. Remarquons d’abord
que les hypothèses an ∼ bn et la suite (an) est positive à partir d’un certain rang impliquent que la suite (bn) est
également positive à partir d’un certain rang.
La série
an converge
Par définition, |an − bn| = o (an) et donc d’après le corollaire précédent, la série
|bn − an| est convergente.
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Preuve
Il suffit de démontrer la première assertion, la seconde n’étant autre que la contraposée de la première.
Supposons donc que la série
bn est convergente. Puisque les premiers termes n’interviennent pas dans la
nature d’une série, on peut supposer sans perte de généralité que an bn, pour tout entier n.
Notons alors, pour tout entier naturel n, Sn =
n
k=0
a k et S
n =
n
k=0
b k . Il est immédiat que Sn S
n . La suite (S
n )
étant convergente, elle est majorée et donc la suite (Sn) est majorée ; d’après la proposition précédente, la série
an est convergente.
❑
➤ Remarque
Le lecteur est prié d’énoncer un résultat analogue pour les suites négatives.
Il est alors clair qu’il est plus qu’utile de connaître la nature de quelques séries, pour
pouvoir utiliser ce dernier théorème. Les séries de références — dont la nature et leur
somme éventuelle sont à connaître par cœur — sont
les séries géométriques (cf. page 88) ;
les séries « dérivées » des séries géométriques (cf. infra page 106) ;
les séries télescopiques (cf. page 88) ;
les séries exponentielles (cf. infra page 103).
Corollaire 1
Soit (a n ) et (b n ) deux suites réelles, positives à partir d’un certain rang.
On suppose que a n = o (b n ). Alors
si la série
b n est convergente, alors la série
a n est convergente ;
si la série
a n est divergente,
alors la série
b n est divergente.
Preuve
Rappelons que pour tout ´ strictement positif, il existe un rang n0 tel que pour tout entier n supérieur à n0 on
ait an ´bn. En choisissant ´ = 1, on conclut immédiatement en appliquant le théorème de comparaison. ❑
Règle des équivalents
Soit (a n ) et (b n ) deux suites réelles, telles que a n soit positifs à partir d’un certain rang, et que
a n ∼ b n .
Alors les séries
a n et
b n sont de même nature.
Preuve
Il s’agit de montrer que la série
an converge si, et seulement si, la série
bn converge. Remarquons d’abord
que les hypothèses an ∼ bn et la suite (an) est positive à partir d’un certain rang impliquent que la suite (bn) est
également positive à partir d’un certain rang.
La série
an converge
Par définition, |an − bn| = o (an) et donc d’après le corollaire précédent, la série
|bn − an| est convergente.
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