© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Séries à terme général positif
Par ailleurs, pour tout entier naturel n
0 bn = (bn − an) + an |bn − an| + an.
Par linéarité, la série
|bn − an| + an
est convergente et d’après le théorème de comparaison, la série
bn
est convergente.
La série
bn converge
En échangeant le rôle des suites (an) et (bn) dans la démonstration ci-dessus, on obtient que la série
an est
convergente.
❑
L’exemple suivant, bien que hors-programme, est à connaître.
Exemple
La série
1
n 2 est convergente.
En effet la série télescopique
1
n
−
1
n + 1
=
1
n (n + 1)
est évidemment convergente.
Puisque
1
n(n + 1)
∼
1
n 2 et que les deux séries sont à terme général positif, la série
1
n 2 est
convergente. Nous verrons en exercice (exercice 13. page 117) que
+∞
k=1
1
k 2 =
p
2
6
·
Nous l’avons déjà signalé, le théorème de comparaison est extrêmement pratique ;
voici d’autres exemples d’utilisation de celui-ci.
Exemples
1. La série
sin
1
2 n
est convergente.
En effet lim
n→+∞
1
2 n = 0 et donc sin
1
2 n
∼
1
2 n · Puisque les séries sont à terme général
positif et que la série géométrique
1
2 n est convergente, la série
sin
1
2 n converge
d’après la règle des équivalents.
2. La série
ln
1 +
1
n
est divergente.
En effet lim
n→+∞
1
n
= 0 et donc ln
1 +
1
n
∼
1
n
· Puisque les séries sont à terme général
positif et que la série harmonique est divergente, la série
ln
1 +
1
n
diverge d’après la
règle des équivalents.
3. Pour tout q ∈ [0, 1[, la série
q
n
2 est convergente.
En effet, pour tout entier naturel n, n n
2 , et donc q
n
2 q
n . Puisque la série géométrique
q
n est convergente, le théorème de comparaison permet de conclure.
4. Si (a n ) est une suite positive telle que la série
a n soit convergente, alors la série
√ a n
n
est convergente.
93