Chapitre 4 – Séries numériques
En effet, en utilisant l’inégalité ab
a
2 + b
2
2
, on a pour tout entier naturel non nul
√
a n
n
1
2
a n +
1
n 2
·
On conclut en utilisant le théorème de comparaison et en remarquant que par linéarité la
série
a n +
1
n 2
est convergente.
5. Pour tout réel a strictement supérieur à 0, la série
1
n 1+a est convergente.
En effet, le développement limité à l’ordre 1 de la fonction x → (1 + x)
−a donne
1
n a −
1
(n + 1) a =
1
n a
1 −
1 +
1
n
−a
=
a
n 1+a + o
1
n a+1
et donc
1
n a+1 ∼
1
a
1
n a −
1
(n + 1) a
·
On conclut avec la règle des équivalents en remarquant que la série télescopique
1
n a −
1
(n + 1) a
est convergente. Nous redémontrerons ce résultat en exercice plus
bas (cf. page 96).
2.2 Plan d’étude d’une série à terme général positif
Pour déterminer la nature d’une série à terme général positif
a n , on peut
• expliciter les sommes partielles S n et calculer la limite ; cette méthode n’est que très
rarement utilisée en pratique ;
• majorer (indépendamment de n) les sommes partielles ;
• utiliser le théorème de comparaison et ses avatars.
On pourra également utiliser les deux résultats suivants, qu’il faut savoir redémontrer
au cas par cas, puisqu’ils ne sont pas au programme officiel.
Proposition 7 (Sommation par paquets)
Soit w : N → N une application strictement croissante et (a n ) une suite positive.
Alors les séries
a n et
⎛
⎝
w(n)
k=w(n−1)+1
a k
⎞
⎠ sont de même nature (avec la convention
w(−1) = −1).
Preuve
Notons, pour tout entier naturel n, Sn =
n
k=0
a k . La suite
S w(n)
est extraite de la suite (Sn) ; cette dernière ayant
une limite dans R, les deux suites ont la même limite dans R. Or, pour tout entier naturel n, S w(n) est la n-ième
somme partielle de la série
⎛
⎝
w(n)
k=w(n−1)−1
a k
⎞
⎠ , ce qui permet de conclure.
❑
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