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Séries à terme général positif
➤ Remarque
On ne peut pas étendre ce résultat aux suites de signe quelconque. En effet en notant an = (−1)
n , la série
an
est évidemment divergente alors que la série
2n+1
k=2n
a k
est convergente.
Exemples
1. Soit (a n ) une suite positive. Alors les séries
a n et
(a 2n + a 2n+1 ) sont de même nature.
Dans le cas de convergence, puisque pour tout entier naturel n, a 2n (a 2n + a 2n+1 ) et
a 2n+1 (a 2n + a 2n+1 ), les deux séries
a 2n et
a 2n+1 sont convergentes, et
+∞
k=0
a k =
+∞
k=0
a 2k +
+∞
k=0
a 2k+1 .
Cette dernière formule parait évidente ; cependant on peut avoir une série convergente
a n sans avoir la possibilité d’écrire
+∞
k=0
a k =
+∞
k=0
a 2k +
+∞
k=0
a 2k+1 comme le montre
l’exemple de la série harmonique alternée.
2. On a vu en exemple page 94 que la série
1
n a est convergente pour tout réel a > 1. On
note traditionnellement z (a) =
+∞
k=1
1
k a · Avec ce qui précède, on peut écrire
z (a) =
+∞
k=1
1
2 a k a +
+∞
k=0
1
(2k + 1)
a =
1
2 a z (a) +
+∞
k=0
1
(2k + 1)
a ,
soit
+∞
k=0
1
(2k + 1)
a =
1 −
1
2 a
z (a) .
La proposition suivante permet d’obtenir un encadrement, souvent pertinent, des
sommes partielles ou des restes d’un certain type de séries que l’on rencontre fréquemment.
Proposition 8 (Comparaison avec une intégrale)
Soit a un réel positif et f : [a, +∞[ → R une fonction continue par morceaux, décroissante.
Alors pour tout entier n tel que n a + 1
n+1
n
f (t) dt f (n)
n
n−1
f (t) dt.
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