Chapitre 4 – Séries numériques
Preuve
Pour tout t n, on a f (t) f (n). Par monotonie de l’intégrale,
n+1
n
f (t) dt
n+1
n
f (n) dt = f(n).
De même, pour tout t n, on a f (t) f (n) et
n
n−1
f (t) dt
n
n−1
f (n) dt = f(n).
❑
➤ Remarques
• Le résultat précédent s’interprète facilement en termes d’aires.
n
n − 1
n + 1
x
y
f (n)
Figure 4.1 Comparaison série/intégrale
• Le lecteur énoncera un résultat similaire pour les fonctions croissantes.
• Sous les mêmes hypothèses, en sommant les encadrements précédents, la relation de Chasles donne pour tous
les entiers p et q vérifiant a + 1 p q
q+1
p
f (t) dt
q
k=p
f (k)
q
p−1
f(t) dt.
• On fera le lien entre séries convergentes et intégrales convergentes (Voir le chapitre 6).
• L’intérêt de ce dernier résultat vient de ce qu’il est en général difficile d’expliciter simplement les sommes
partielles, alors qu’on sait plus souvent — mais pas toujours — calculer des primitives.
Exercice 3. Séries de Riemann
Soit a un réel.
Montrer, en comparant avec des intégrales, que la série
1
n a est convergente si, et seulement
si, a > 1.
Solution. Pour tout a > 0, la fonction t →
1
t a est continue, décroissante sur [1, +∞[. Donc,
pour tout entier naturel n, n 2
n+1
2
dt
t a
n
k=2
1
k a
n
1
dt
t a ·
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