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Séries à terme général positif
Ainsi, pour a ∈ ]1, +∞[ et n entier supérieur ou égal à 2
n
k=2
1
k a
1
a − 1
1 −
1
n a−1
1
a − 1
,
et d’après la proposition 6, la série
1
n a à terme général positif converge.
Lorsque a = 1, on a pour tout entier n supérieur ou égal à 2
ln (n + 1) − ln 2
n
k=2
1
k
,
et en faisant tendre n vers +∞, par passage à la limite dans les inégalités, on retrouve la
divergence de la série harmonique.
Lorsque a < 1, on a
1
n
= o
1
n a
et donc, d’après un des corollaires du théorème de
comparaison, la série
1
n a est divergente.
Exercice 4.
1. Donner, pour a > 1, un équivalent simple de R n =
+∞
k=n+1
1
k a ·
2. Donner, pour a < 1, un équivalent simple de S n =
n
k=1
1
k a ·
Solution.
1. Pour tout entier k supérieur ou égal à 2, on a
k+1
k
dt
t a
1
k a
k
k−1
dt
t a ,
soit
1
a − 1
1
k a−1 −
1
(k + 1) a−1
1
k a
1
a − 1
1
(k − 1) a−1 −
1
k a−1
.
En sommant, les trois séries étant convergentes, on obtient pour tout entier naturel n
supérieur ou égal à 1
1
a − 1
1
(n + 1) a−1
+∞
k=n+1
1
k a
1
a − 1
1
n a−1 ,
soit encore
n
n + 1
a−1 (a − 1) n
a−1 R n 1.
Le théorème des gendarmes donne alors lim
n→+∞
(a − 1) n
a−1 R n = 1, c’est-à-dire
R n ∼
1
a − 1
1
n a−1 ·
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