Chapitre 4 – Séries numériques
2. De même, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, lorsque a ∈ [0, 1[,
1 +
1
1 − a
(n + 1)
1−a
− 2
1−a
S n 1 +
1
1 − a
n
1−a
− 1
et lorsque a < 0, du fait que la fonction x →
1
x a est croissante,
1 +
1
1 − a
n
1−a
− 1
S n 1 +
1
1 − a
(n + 1)
1−a
− 2
1−a
·
On en déduit que pour tout a < 1
S n ∼
1
1 − a
n
1−a
·
Exercice 5.
1. Soit (a n ) et (b n ) deux suites positives telles que la série
a n soit convergente et a n ∼ b n .
Montrer que
+∞
k=n+1
a k ∼
+∞
k=n+1
b k .
2. On a vu en première année (cf. chapitre XI, paragraphe 2.4.) que la constante d’Euler est
définie par lim
n→+∞
n
k=1
1
k
− ln n = g.
Vérifier que g =
+∞
k=1
1
k
− ln
1 +
1
k
·
3. Montrer que
n
k=1
1
k
− ln n − g ∼
1
2n
·
Solution.
1. Soit ´ un réel strictement positif. Par définition de l’équivalence, il existe un rang n 0 tel
que pour tout entier n n 0 , on ait
(1 − ´) a n b n (1 + ´) a n .
En sommant, d’après le proposition 4, il vient que pour tout entier n n 0
(1 − ´)
+∞
k=n+1
a k
+∞
k=n+1
b k (1 + ´)
+∞
k=n+1
a k ,
ce qui achève la démonstration.
2. Puisque pour tout entier naturel n 1 on a l’égalité ln(n + 1) =
n
k=1
ln(k + 1) − ln k
, et
puisque lim
n→+∞
ln
1 +
1
n
= 0
g = lim
n→+∞
n
k=1
1
k
− ln (n + 1) + ln
1 +
1
n
=
+∞
k=1
1
k
− ln
1 +
1
k
.
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