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Séries à terme général positif
2. Séries à terme général positif
2.1 Le théorème de comparaison
On dispose pour les séries à terme général positif d’un certain nombre de résultats
à la fois extrêmement importants et faciles d’utilisation. Il est clair qu’en passant à
l’opposé, on peut utiliser, par linéarité, les résultats qui suivent pour étudier les séries
à terme général négatif.
Remarquons que si la suite réelle (a n ) est positive à partir d’un certain rang, alors la
suite (S n ) des sommes partielles est croissante à partir d’un certain rang ; on peut donc
appliquer le théorème des suites monotones à la suite (S n ), qui peut ici s’énoncer de
la manière suivante.
Proposition 6
Soit (a n ) une suite réelle, positive à partir d’un certain rang. La série
a n est convergente si,
et seulement si, la suite
n
k=0
a k
est majorée.
Exemple
Soit (a n ) une suite vérifiant les propriétés (1) , (2) et (4) de la proposition 5 page 90. Alors la
suite (a n ) est effectivement le développement décimal d’un réel positif. Pour le voir il suffit de
montrer que la série
a k
10 k est convergente. Or pour tout entier naturel non nul n,
S n =
n
k=0
a k
10 k a 0 +
n
k=1
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10 k = a 0 + 1 −
1
10 n a 0 + 1,
et donc d’après la proposition précédente, la série
a k
10 k est convergente.
Sans doute, le principal résultat de ce chapitre est le théorème suivant (et ses corollaires).
Théorème 4 (Théorème de comparaison)
Soit (a n ) et (b n ) deux suites réelles, positives à partir d’un certain rang.
On suppose qu’il existe un entier n 0 tel que pour tout entier n supérieur à n 0
a n b n .
Alors
si la série
b n est convergente, alors la série
a n est convergente ;
si la série
a n est divergente,
alors la série
b n est divergente.
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