Chapitre 4 – Séries numériques
En résumé
Proposition 5
Pour tout réel positif x, il existe une unique suite (a n ) vérifiant
(1) a 0 est un entier naturel ;
(2) pour tout entier n 1, a n ∈ Ú0, 9Û ;
(3) x =
+∞
k=0
a k
10 k ;
(4) la suite (a n ) n’est pas constante égale à 9 à partir d’un certain rang.
Preuve
Seule l’unicité est à démontrer. Soit donc un réel positif x et une suite (bn) vérifiant les quatre propriétés. Alors
pour tout entier naturel n,
10
n x =
n
k=0
b k 10
n−k
+
+∞
k=1
b k+n
10 k ·
Puisque la suite (bk+n) k1 n’est pas constante égale à 9, d’après la proposition 4 page 86, on a
+∞
k=1
b k+n
10 k <
+∞
k=1
9
10 k = 1,
et donc
10
n x =
n
k=0
b k 10
n−k .
Il s’ensuit que, pour tout entier naturel non nul n
an = 10
n x − 1010
n−1 x =
n
k=0
b k 10
n−k −
n−1
k=0
b k 10
n−k = bn,
et on vérifie de même que a0 = b0, ce qui garantit l’unicité.
❑
Avec les notations de la proposition précédente, toute suite (a n ) vérifiant les propriétés de (1) à (3) est un développement décimal de x et l’unique suite (a n ) vérifiant les propriétés de (1) à (4) est le développement décimal propre de x. On
note x = a 0 , a 1 a 2 . . . . Certains réels ont deux développements décimaux. À titre
d’exemple, 1 =
+∞
k=1
9
10 k , c’est-à-dire 1, 000 . . . = 0, 999 . . . . Un développement
décimal constant égal à 9 à partir d’un certain rang est dit être un développement
impropre.
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