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Généralités
Théorème 3 (Séries télescopiques)
Soit (a n ) une suite complexe.
La série télescopique
(a n+1 − a n ) est convergente si, et seulement si, la suite (a n ) est
convergente.
Preuve
Il suffit de remarquer que pour tout entier naturel n,
n
k=0
(ak+1 − a k ) = an+1 − a0.
❑
1.4 Un exemple : développement décimal d’un réel positif
Le lecteur manipule — plus ou moins consciemment — les séries depuis longtemps.
La représentation d’un réel par une écriture décimale signifie que ce réel est la
somme d’une série d’un certain type. Précisons cela.
Soit x un réel positif. On rappelle que pour tout entier naturel n, x n = 10 −n 10
n x
est l’approximation décimale de x à 10 −n près par défaut. On a vu en première année
que lim
n→+∞
x n = x. Il s’ensuit que
x = x +
+∞
k=1
10
k x
10 k −
10
k−1 x
10 k−1
= x +
+∞
k=1
a k
10 k ,
où, pour tout entier naturel non nul k, a k = 10
k x − 1010
k−1 x. Par définition de
la partie entière, on a pour tout entier naturel non nul k
10
k−1 x 10
k−1 x < 10
k−1 x + 1,
soit
1010
k−1 x 10
k x < 1010
k−1 x + 10,
et donc,
1010
k−1 x 10
k x 1010
k−1 x + 9.
Il s’ensuit que a k est un élément de Ú0, 9Û.
Supposons que la suite (a k ) k1 soit constante, égale à 9, à partir d’un certain rang. On
introduit alors un indice k tel que a i = 9 pour tout i supérieur ou égal à k. D’après
l’expression de la somme d’une série géométrique
x = x +
k−1
i=1
a i
10 i + 9
+∞
i=k
1
10 i = x +
k−1
i=1
a i
10 i +
1
10 k−1 ·
Mais alors
a k =
10
k x
− 10
10
k−1 x
= 0,
contredisant la définition de l’indice k.
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