Chapitre 4 – Séries numériques
En particulier, pour tout entier naturel n
−a 2n+1 S − S 2n 0
(en posant p = q = n ) et
0 S − S 2n+1 a 2n+2
(en posant p = n et q = n + 1). Le résultat s’en déduit.
1.3 Des séries de référence
Séries géométriques
Définition 4
Une série géométrique est une série
a n , où (a n ) est une suite géométrique.
Théorème 2 (Séries géométriques)
Soit q un nombre complexe.
La série
q
n est convergente si, et seulement si, |q| < 1.
Lorsque |q| < 1,
+∞
k=0
q
k =
1
1 − q
·
Preuve
On sait que la suite géométrique (q
n ) converge vers zéro si, et seulement si, |q| < 1.
Ainsi, d’après le théorème 1 page 84, une condition nécessaire de convergence de la série
q
n est que
|q
n | < 1.
Si |q
n | < 1, du fait que pour tout entier naturel n,
n
k=0
q
k =
1 − q
n+1
1 − q
,
il vient que
lim
n→+∞
n
k=0
q
k =
1
1 − q
,
ce qui établit le résultat recherché.
❑
Séries télescopiques
Définition 5
Une série télescopique est une série de la forme
(a n+1 − a n ), où (a n ) est une suite
complexe.
88