© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Généralités
En intégrant, on obtient
n
k=1
(−1)
k−1
k
=
n
k=1
1
0
(−1)
k−1 t
k−1 dt =
1
0
1 − (−t)
n
1 + t
dt = ln 2 − (−1)
n
1
0
t
n
1 + t
dt.
La relation demandée en découle.
• Il suffit de démontrer que lim
n→+∞
1
0
t
n
1 + t
dt = 0. Or, pour tout t ∈ [0, 1], 0
1
1 + t
1
et donc par monotonie de l’intégrale
0
1
0
t
n
1 + t
dt
1
0
t
n dt =
1
n + 1
·
On conclut alors facilement.
L’exercice suivant généralise partiellement le résultat de l’exercice précédent.
Exercice 2. Séries alternées
Soit (a n ) une suite réelle, décroissante et de limite nulle. On note, pour tout entier naturel n,
S n =
n
k=0
(−1)
k a k .
1. Montrer que les suites (S 2n ) et (S 2n+1 ) sont adjacentes.
2. Montrer que la série
(−1)
k a k est convergente. On note S la somme de cette série.
3. Montrer que pour tout entier naturel
n
k=0
(−1)
k a k − S
a n+1 .
Solution.
1. Soit n un entier naturel. Alors
S 2n+2 − S 2n = a 2n+2 − a 2n+1 0 ;
S 2n+3 − S 2n+1 = a 2n+2 − a 2n+3 0.
Il s’ensuit que la suite (S 2n ) est décroissante et que la suite (S 2n+1 ) est croissante. Puisque la
suite (a n ) tend vers zéro,
lim
n→+∞
S 2n − S 2n+1 = lim
n→+∞
a 2n+1 = 0.
Le résultat en résulte.
2. Puisque les sous-suites (S 2n ) et (S 2n+1 ) sont convergentes et qu’elles ont même limite, la
suite (S n ) est convergente, i.e. la série
(−1)
k a k est convergente.
3. De ce qui précède et du théorème des suites adjacentes on obtient que pour tous les entiers
naturels p et q
S 2p+1 S S 2q .
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