Chapitre 4 – Séries numériques
Par linéarité de la convergence, le terme de droite dans l’égalité précédente ayant une limite, la suite
n
k=0
(ak + lb k )
est convergente ; ainsi l’ensemble E est stable par combinaisons linéaires. Les relations (1) et
(2) sont obtenues par passage à la limite dans (i).
❑
➤ Remarque
Attention ! L’égalité
+∞
n=0
(an + bn) =
+∞
n=0
an +
+∞
n=0
bn
n’est licite que lorsqu’on sait qu’au moins deux des trois séries sont convergentes. On ne peut pas « séparer » des
sommes de séries sans précaution : l’écriture 0 =
+∞
n=0
(1 − 1) =
+∞
n=0
1 −
+∞
n=0
1 est évidemment une ineptie.
Proposition 4
Soit (a n ) une suite positive.
• Si la série
a n est convergente, alors
+∞
k=0
a k 0.
• Si de plus la suite (a k ) n’est pas identiquement nulle, alors
+∞
k=0
a k > 0.
Preuve
Immédiate.
❑
Exercice 1. Série harmonique alternée
• Montrer que pour tout entier naturel non nul n
ln 2 =
n
k=1
(−1)
k−1
k
+ (−1)
n
1
0
t
n
1 + t
dt.
• En déduire que
+∞
k=1
(−1)
k+1
k
= ln 2.
Solution.
• Pour tout entier naturel non nul n et pour tout t ∈ [0, 1], la formule exprimant la somme
des n − 1 premiers termes d’une suite géométrique donne
n
k=1
(−t)
k−1 =
1 − (−t)
n
1 + t
(remarquer que −t = 1).
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