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Généralités
Première démonstration
On raisonne par l’absurde. Notons pour tout entier naturel n non nul, S n =
n
k=1
1
k
· Pour tout
n ∈ N
∗ , on a
S 2n − S n =
2n
k=n+1
1
k
2n
k=n+1
1
2n
=
1
2
·
Si la série harmonique converge, de somme S, on aurait, par passage à la limite dans les
inégalités,
lim
n→+∞
S 2n − S n = S − S = 0
1
2
,
ce qui est absurde.
Seconde démonstration
On sait que pour tout réel x > −1, ln (1 + x) x. Ainsi, pour tout entier naturel non nul
ln (n + 1) − ln n = ln
1 +
1
n
1
n
·
Il s’ensuit que pour tout entier naturel non nul n,
ln (n + 1) =
n
k=1
ln (k + 1) − ln k
n
k=1
1
k
·
Ainsi, lim
n→+∞
n
k=1
1
k
= +∞ et la série
1
n
est divergente.
Proposition 3
L’ensemble E des suites (a n ) à valeurs dans K telles que la série
a k soit convergente est
un K-espace vectoriel pour les lois usuelles.
De plus, pour toutes les suites (a n ) et (b n ) éléments de E et pour tout scalaire l
+∞
n=0
(a n + b n ) =
+∞
n=0
a n +
+∞
n=0
b n ,
(1)
+∞
n=0
(la n ) = l
+∞
n=0
a n ;
( 2 )
i.e. l’application (a n ) →
+∞
k=0
a k , définie sur E, est linéaire.
Preuve
Montrons que E est sous-espace vectoriel de K N . Il est clair que la série de terme général nul est convergente
et donc la suite nulle est un élément de E. Soit (an) et (bn) deux éléments de E et l ∈ K. Alors pour tout entier
naturel n
(i)
n
k=0
(ak + lb k ) =
n
k=0
a k + l
n
k=0
b k .
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