Chapitre 4 – Séries numériques
Définition 3
Soit
a n une série convergente. Pour tout entier naturel n, le reste d’ordre n est
R n =
+∞
k=n+1
a k .
➤ Remarque
Il est clair que le reste d’ordre n d’une série convergente est bien défini.
Proposition 2
Soit
a n une série convergente de somme S. On note, pour tout entier naturel n, S n et
R n respectivement la somme partielle et le reste d’ordre n. Alors
• pour tout entier naturel n, S = S n + R n ;
• de plus lim
n→+∞
R n = 0.
Preuve
Immédiate.
❑
1.2 Premières propriétés
Le résultat suivant, bien que très simple, donne une très importante condition
nécessaire de convergence.
Théorème 1
Soit (a n ) une suite numérique. Si la série
a n est convergente, alors lim
n→+∞
a n = 0.
Attention ! la réciproque est fausse.
Preuve
Puisque la suite des sommes partielles (Sn) est convergente, de limite S,
lim
n→+∞
Sn − S n−1 = S − S = 0 = lim
n→+∞
an.
❑
➤ Remarque
Lorsque la suite (an) ne tend pas vers zéro, on dit que la série
an est grossièrement divergente.
Il est bon de connaître l’exemple suivant, bien qu’il soit hors programme. Il montre
en particulier que la réciproque du théorème précédent est fausse.
Exemple
Série harmonique
La série
1
n
est divergente.
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