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Généralités
Définition 2
Soit (a n ) une suite numérique. On dit que la série
a n est convergente (ou qu’elle
converge) lorsque la suite (S n ) des sommes partielles est convergente ; on dira qu’elle est
divergente (ou qu’elle diverge) sinon.
Lorsque la série de terme général a n est convergente, on appelle somme de la série
a n
la limite des sommes partielles. On note
+∞
k=0
a k la somme, c’est-à-dire
+∞
k=0
a k = lim
n→+∞
n
k=0
a k .
Étudier la nature d’une série c’est déterminer si elle converge ou non.
Exemples
1. La série
1
2 n+1 est convergente. En effet, pour tout entier naturel n
S n =
n
k=0
1
2 k+1 = 1 −
1
2 n+1 ·
La suite géométrique
1
2 n+1
étant convergente, de limite nulle, la suite (S n ) est convergente, et
+∞
k=0
1
2 k+1 = 1.
2. La série
1 est divergente. En effet, pour tout entier naturel n, S n = n + 1.
➤ Remarques
• Il est important de remarquer que la notation
an désigne une suite (celle des sommes partielles) et que la
notation
+∞
k=0
a k désigne une limite, la somme de la série.
• Puisque
+∞
k=0
a k désigne une limite, il est impératif de justifier la convergence de la série pour pouvoir utiliser et
manipuler cette notation.
Proposition 1
Soit (a n ) et (b n ) deux suites numériques qui différent d’un nombre fini de termes, i.e. telles
que a n = b n sauf pour un nombre fini de valeurs.
Alors les séries
a n et
b n sont de même nature, c’est-à-dire que l’une est convergente
si, et seulement si, l’autre l’est.
En revanche, dans le cas où l’une est convergente, leur somme sont a priori différentes.
Preuve
Immédiate.
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