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Séries numériques
Tout au long de ce chapitre, N désigne l’ensemble des entiers naturels. Le corps des
nombres réels est noté R et celui des nombres complexes est noté C. Par ailleurs, K
désignera soit R, soit C. Enfin, on dira d’une suite à valeurs dans K qu’elle est une
suite numérique.
1. Généralités
1.1 Définitions
Définition 1
Soit (a n ) une suite à valeurs dans K. La série (numérique) de terme général a n , notée
a n , est la suite (S n ), où
∀n ∈ N
S n =
n
k=0
a k .
Dans ce contexte, pour tout entier naturel n, on dit que S n est la n
e somme partielle (ou
la somme partielle d’indice n, ou encore d’ordre n) de la série
a n .
➤ Remarques
• Ainsi, une série n’est autre qu’une suite dont le terme général est la somme des premiers termes d’une autre
suite.
• Toute suite numérique peut être interprétée comme une série. En effet, si (an) est une suite numérique, en
notant pour tout entier naturel n
bn =
an − a n−1 ,
si n > 0 ;
a0,
si n = 0,
on a
∀n ∈ N
an = a0 +
n
k=1
a k − a k−1
=
n
k=0
b k .
En d’autres termes, la suite (an) est la série de terme général bn.
• On peut définir des séries à valeurs dans un ensemble E, dès lors que celui-ci est muni d’une « addition ». On
peut en particulier, lorsque (an) est une suite à valeurs dans un K-espace vectoriel, introduire la série
an.
• Il arrive qu’une suite (an) ne soit définie qu’à partir d’un rang n0. La série de terme général an est alors
⎛
⎝
n
k=n0
a k
⎞
⎠
nn0
.