EXERCICES
17.
On note M 3 (R) l’espace vectoriel réel des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients
réels. On considère la matrice A définie par
A =
0 −1 −1
1
0 −1
1
1
0
1. Déterminer la matrice B = A
2 + 2I. La matrice B est-elle diagonalisable ?
2. Montrer que B
2 = B + 2I.
3. Déterminer les valeurs propres de B. En déduire les sous-espaces propres associés.
4. Vérifier que si l est une valeur propre de A, alors l
2 + 2 est une valeur propre de B. En
déduire que A n’est pas diagonalisable dans M 3 (R).
5. Montrer que B est inversible et exprimer B
−1 en fonction des matrices B et I.
6. On s’intéresse maintenant aux puissances de B.
a. On pose, pour tout n 2, X
n = (X
2
− X − 2)Q n (X) + R n (X) où Q n et R n sont deux
polynômes tels que deg(R n ) < 2.
On note R n (X) = a n X + b n . Déterminer le couple (a n , b n ).
b. En déduire l’expression de B
n en fonction de I, B et n, pour n 0.
c. Montrer que l’expression de B
n en fonction de I, de B et de n, qui a été obtenue pour
n 0, est encore valable pour les entiers négatifs.
18.
1. Soit n 2 un entier naturel et A une matrice carrée d’ordre n sur C telle que,
pour tout i ∈ Ú1, . . . , nÛ
|a i,i | >
j =i
|a i,j |
Montrer que la matrice A est inversible (on pourra raisonner par l’absurde et considérer
une colonne X non nulle telle que AX = 0).
2. Soit A une matrice carrée d’ordre n quelconque. Soit l une valeur propre de A. Montrer
que
l ∈
n
i=1
D(a i,i ,
j =i
|a i,j |)
où pour a ∈ C, R > 0, D(a, R) = {z ∈ C / |z − a| R}.
3. Soit n 2 et A la matrice
A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 1
0 . . . 0
1 0
1
. . .
. . .
0
. . .
. . .
. . . 0
. . .
. . . 1
0 1
0 . . . 0
1 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
a. Montrer que si l est une valeur propre réelle de A, alors |l| 2.
On pose alors l = 2 cos(u), u ∈ [0, p].
b. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A.
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