Chapitre 3 – Réduction des endomorphismes et des matrices
2. Montrer que T a (f ) est constante si et seulement si f est périodique de période T = 2a.
3. Montrer que l’application T a est un endomorphisme de E. Déterminer son noyau. T a est-il
surjectif ?
4. Soit n 2 un entier naturel et R n [X] l’espace vectoriel des fonctions polynômes de degré
inférieur ou égal à n. Montrer que la restriction de T a à R n [X] est un endomorphisme de
R n [X].
On notera encore T a cette restriction.
5. a. Montrer que la matrice associée à T a dans la base canonique de R n [X] est triangulaire
supérieure. En déduire les valeurs propres de T a . Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?
b. Soit f ∈ R n [X]. Montrer que si le degré de f est égal à 2, f n’est pas vecteur propre de
T a .
c. Montrer que si f est vecteur propre de T a , sa dérivée f
l’est également. En déduire les
sous-espaces propres de T a .
15.
Soit f l’endomorphisme de R
n dont la matrice dans la base canonique est
A =
⎛
⎜
⎝
1 −12 2
1
1 1
4
8 3
⎞
⎟
⎠ .
1. Déterminer les valeurs propres de f .
2. Montrer que Ker(f − 3 Id)
2 et Ker(f + Id) sont supplémentaires.
3. Déterminer une base B
de R
3 dans laquelle la matrice de f est
B =
−1 0 0
0 3 1
0 0 3
.
4. Déterminer B
n pour n ∈ N.
5. En déduire la valeur de A
n .
16.
Commutant d’un endomorphisme diagonalisable
Soit u un endomorphisme diagonalisable de E, espace vectoriel sur R.
On pose
C(u) =
v ∈ L(E)
uv = vu
Soit v un endomorphisme de E.
1. Montrer que C(u) est un sous-espace vectoriel de L(E).
2. Montrer que si uv = vu, alors v laisse stable les sous-espaces propres de u.
3. Réciproquement, montrer que si v laisse stable les sous-espaces propres de u, alors u et v
commutent.
4. En déduire la dimension de C(u) en fonction des dimensions des sous-espaces propres de u.
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