EXERCICES
12.
Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel réel E de dimension n. On suppose
que u admet n valeurs propres.
Montrer que pour tout v ∈ L(E), uv = vu si et seulement si les vecteurs propres de u sont des
vecteurs propres de v.
13.
Dans ce problème, n désigne un entier naturel non nul et E désigne l’espace
vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à 2n.
Si a 0 , a 1 , . . . , a 2n sont 2n + 1 réels et Q est le polynôme : Q(x) =
2n
k=0
a k X
k ,
on définit le polynôme s(Q) par : s(Q)(X) =
2n
k=0
a 2n−k X
k .
Autrement dit, s(Q) est le polynôme obtenu à partir de Q en « inversant l’ordre des coefficients ».
Par exemple, si n est égal à 2 et si Q(x) = 4X
4 + 7X
3 + 2X
2 + 1,
on obtient s(Q)(X) = X
4 + 2X
2 + 7X + 4.
1. Linéarité de s
Montrer que l’application s : Q → s(Q) est une application linéaire de E dans lui-même.
2. Diagonalisation dans un cas particulier
a. On considère la matrice carrée d’ordre 3 : M =
0 0 1
0 1 0
1 0 0
.
Justifier sans calcul que la matrice M est diagonalisable. Déterminer les valeurs propres
de M et, pour chacune d’entre elles, donner une base du sous-espace propre associé.
b. Vérifier que, dans le cas particulier n = 1, M est la matrice de l’application linéaire s
dans la base (1, X, X
2 ). Donner alors une base de vecteurs propres pour s.
3. Étude du cas général
On définit la famille de polynômes (A 0 , ...., A 2n ) par
⎧
⎨
⎩
A k (X) = X
2n−k + X
k
si 0 k n − 1
A n (X) = X
n
A k (x) = X
k
− X
2n−k
si n + 1 k 2n
a. Déterminer l’endomorphisme s ◦ s.
b. En déduire que les valeurs propres de s appartiennent à {1, −1}.
c. Déterminer s(A k ) pour tout entier k vérifiant 0 k 2n.
d. Montrer que la famille (A 0 , ...., A 2n ) est libre.
e. En déduire que l’endomorphisme s est diagonalisable, préciser ses valeurs propres et la
dimension de chacun de ses sous-espaces propres.
14.
Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues sur R, à valeurs réelles. Soit a > 0
un réel donné. A tout f ∈ E on associe la fonction T a (f ) définie pour tout x réel par
T a (f )(x) =
1
2a
x+a
x−a
f (t)dt
1. Montrer que pour tout f ∈ E, T a (f ) est bien définie et est de classe C
1 sur R.
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12.
Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel réel E de dimension n. On suppose
que u admet n valeurs propres.
Montrer que pour tout v ∈ L(E), uv = vu si et seulement si les vecteurs propres de u sont des
vecteurs propres de v.
13.
Dans ce problème, n désigne un entier naturel non nul et E désigne l’espace
vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à 2n.
Si a 0 , a 1 , . . . , a 2n sont 2n + 1 réels et Q est le polynôme : Q(x) =
2n
k=0
a k X
k ,
on définit le polynôme s(Q) par : s(Q)(X) =
2n
k=0
a 2n−k X
k .
Autrement dit, s(Q) est le polynôme obtenu à partir de Q en « inversant l’ordre des coefficients ».
Par exemple, si n est égal à 2 et si Q(x) = 4X
4 + 7X
3 + 2X
2 + 1,
on obtient s(Q)(X) = X
4 + 2X
2 + 7X + 4.
1. Linéarité de s
Montrer que l’application s : Q → s(Q) est une application linéaire de E dans lui-même.
2. Diagonalisation dans un cas particulier
a. On considère la matrice carrée d’ordre 3 : M =
0 0 1
0 1 0
1 0 0
.
Justifier sans calcul que la matrice M est diagonalisable. Déterminer les valeurs propres
de M et, pour chacune d’entre elles, donner une base du sous-espace propre associé.
b. Vérifier que, dans le cas particulier n = 1, M est la matrice de l’application linéaire s
dans la base (1, X, X
2 ). Donner alors une base de vecteurs propres pour s.
3. Étude du cas général
On définit la famille de polynômes (A 0 , ...., A 2n ) par
⎧
⎨
⎩
A k (X) = X
2n−k + X
k
si 0 k n − 1
A n (X) = X
n
A k (x) = X
k
− X
2n−k
si n + 1 k 2n
a. Déterminer l’endomorphisme s ◦ s.
b. En déduire que les valeurs propres de s appartiennent à {1, −1}.
c. Déterminer s(A k ) pour tout entier k vérifiant 0 k 2n.
d. Montrer que la famille (A 0 , ...., A 2n ) est libre.
e. En déduire que l’endomorphisme s est diagonalisable, préciser ses valeurs propres et la
dimension de chacun de ses sous-espaces propres.
14.
Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues sur R, à valeurs réelles. Soit a > 0
un réel donné. A tout f ∈ E on associe la fonction T a (f ) définie pour tout x réel par
T a (f )(x) =
1
2a
x+a
x−a
f (t)dt
1. Montrer que pour tout f ∈ E, T a (f ) est bien définie et est de classe C
1 sur R.
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