Chapitre 3 – Réduction des endomorphismes et des matrices
2. On se propose, dans cette question, de déterminer l’ensemble des nombres réels a tels qu’il
existe une matrice carrée réelle d’ordre trois vérifiant X
2 = M a .
a. Soient a un nombre réel et X une matrice carrée réelle d’ordre trois tels que X
2 = M a
i. Montrer que X commute avec M a , puis que X commute avec J.
ii. On note h l’endomorphisme de R
3 de matrice X dans la base canonique de R
3 .
Déduire de la question précédente que tout vecteur propre de f est vecteur propre
de h.
iii. Établir qu’il existe une matrice réelle diagonale D d’ordre trois telle que
X = PDP
−1 et montrer : D
2 = D a .
iv. En déduire : a 2.
b. Réciproquement, montrer que, pour tout nombre réel a supérieur ou égal à 2, il existe
une matrice carrée réelle X d’ordre trois telle que X
2 = M a .
c. Conclure.
10.
Polynôme annulateur
Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finie.
1. Soient u 1 , u 2 deux endomorphismes de E.
Montrer que dim(Ker(u 1 ◦ u 2 )) dim(Ker(u 1 )) + dim(Ker(u 2 )).
2. Généraliser le résultat précédent en prouvant que quels que soient les endomorphismes u 1 ,
u 2 , . . . , u n de E, on a
dim(Ker(u 1 ◦ u 2 ◦ · · · ◦ u n ))
n
k=1
dim(Ker(u k )).
3. On suppose dans cette question que K = C et on considère u ∈ L(E) tel que u
3
− Id E = 0.
Montrer que u est diagonalisable.
4. Plus généralement, soit u ∈ L(E) tel qu’il existe un polynôme à racines simples
P =
q
i=0
a i X
i vérifiant
q
i=0
a i u
i = 0. (On dit dans cette situation que P est un polynôme
annulateur de u, cette définition est hors programme.)
Montrer que u est diagonalisable.
5. Réciproquement, soit u un endomorphisme de E diagonalisable. Montrer que u admet un
polynôme annulateur à racines simples.
11.
Codiagonalisation
Soient u, v deux endomorphismes diagonalisables d’un R-espace vectoriel E.
1. On suppose que uv = vu.
a. Montrer que les sous-espaces propres de u sont stables par v.
b. En déduire qu’il existe une base B de E dans laquelle la matrice de u et la matrice de v
sont diagonales.
2. On suppose maintenant qu’il existe une base B de E dans laquelle la matrice de u et la
matrice de v sont diagonales.
Montrer que uv = vu.
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2. On se propose, dans cette question, de déterminer l’ensemble des nombres réels a tels qu’il
existe une matrice carrée réelle d’ordre trois vérifiant X
2 = M a .
a. Soient a un nombre réel et X une matrice carrée réelle d’ordre trois tels que X
2 = M a
i. Montrer que X commute avec M a , puis que X commute avec J.
ii. On note h l’endomorphisme de R
3 de matrice X dans la base canonique de R
3 .
Déduire de la question précédente que tout vecteur propre de f est vecteur propre
de h.
iii. Établir qu’il existe une matrice réelle diagonale D d’ordre trois telle que
X = PDP
−1 et montrer : D
2 = D a .
iv. En déduire : a 2.
b. Réciproquement, montrer que, pour tout nombre réel a supérieur ou égal à 2, il existe
une matrice carrée réelle X d’ordre trois telle que X
2 = M a .
c. Conclure.
10.
Polynôme annulateur
Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finie.
1. Soient u 1 , u 2 deux endomorphismes de E.
Montrer que dim(Ker(u 1 ◦ u 2 )) dim(Ker(u 1 )) + dim(Ker(u 2 )).
2. Généraliser le résultat précédent en prouvant que quels que soient les endomorphismes u 1 ,
u 2 , . . . , u n de E, on a
dim(Ker(u 1 ◦ u 2 ◦ · · · ◦ u n ))
n
k=1
dim(Ker(u k )).
3. On suppose dans cette question que K = C et on considère u ∈ L(E) tel que u
3
− Id E = 0.
Montrer que u est diagonalisable.
4. Plus généralement, soit u ∈ L(E) tel qu’il existe un polynôme à racines simples
P =
q
i=0
a i X
i vérifiant
q
i=0
a i u
i = 0. (On dit dans cette situation que P est un polynôme
annulateur de u, cette définition est hors programme.)
Montrer que u est diagonalisable.
5. Réciproquement, soit u un endomorphisme de E diagonalisable. Montrer que u admet un
polynôme annulateur à racines simples.
11.
Codiagonalisation
Soient u, v deux endomorphismes diagonalisables d’un R-espace vectoriel E.
1. On suppose que uv = vu.
a. Montrer que les sous-espaces propres de u sont stables par v.
b. En déduire qu’il existe une base B de E dans laquelle la matrice de u et la matrice de v
sont diagonales.
2. On suppose maintenant qu’il existe une base B de E dans laquelle la matrice de u et la
matrice de v sont diagonales.
Montrer que uv = vu.
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