EXERCICES
8.
Soient a, b, c trois réels tous non nuls, et M la matrice carrée d’ordre 3 suivante
M =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
a
b
a
c
b
a
1
b
c
c
a
c
b
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
1. a. Montrer M
2 = 3M
b. En déduire que l’ensemble des valeurs propres de M est inclus dans {0, 3}.
2. a. Déterminer les valeurs propres de M et, pour chaque valeur propre, une base du sousespaces propre associé.
b. La matrice M est-elle diagonalisable ?
On note
P =
a
a
a
b −b
0
c
0 −c
D =
3 0 0
0 0 0
0 0 0
Q =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
a
1
b
1
c
1
a
−
2
b
1
c
1
a
1
b
−
2
c
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
3. a. Calculer PQ. Montrer que P est inversible. Quel est son inverse ?
b. Vérifier : M = PDP
−1
4. Déterminer l’ensemble des matrices Y de M 3 (R) telles que DY − YD = 3Y
5. Montrer que l’ensemble des matrices X de M 3 (R) telles que MX − XM = 3X est un
espace vectoriel de dimension 2 sur R.
9.
On considère une matrice carrée d’ordre 3
J =
0
2 1
0 −1 2
0
1 0
et l’endomorphisme f de R
3 de matrice J dans la base canonique de R
3 .
On considère, pour tout nombre réel a, la matrice carrée réelle d’ordre 3
M a =
a
2
1
0 a − 1 2
0
1
a
.
1. a. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de f .
b. Montrer que J est diagonalisable. Déterminer une matrice réelle diagonale D d’ordre
trois et une matrice réelle inversible P d’ordre trois telles que J = PDP
−1
c. En déduire que, pour tout nombre réel a, il existe une matrice réelle diagonale D a
d’ordre trois, que l’on calculera, telle que M a = PD a P
−1 .
d. Quel est l’ensemble des nombres réels a tels que M a soit inversible ?
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