Chapitre 3 – Réduction des endomorphismes et des matrices
3. Soient (u n ), (v n ) deux suites définies par u 0 = 1, v 0 = 1 et
u n+1 =
7u n + 2v n
v n+1 = −4u n + v n
On pose pour n ∈ N, X n =
u n
v n
.
Exprimer X n+1 en fonction de X n .
4. En déduire une expression de X n en fonction de A et de X 0 .
5. Exprimer le terme général de u n et v n en fonction de n.
6.
Soit
A =
7
3 −9
−2 −1
2
2 −1 −4
.
1. Soit Q(X) = X
3
− 2X
2
− 5X + 6.
a. Résoudre dans K l’équation Q(x) = 0.
b. Calculer la matrice A
3
− 2A
2
− 5A + 6I avec I la matrice unité deM 3 (K).
c. Déduire de ces calculs des réels dont font partie les éventuelles valeurs propres de A.
On dit dans cette situation que Q est un polynôme annulateur de A.
2. Déterminer si les réels mis en évidence à la question précédente sont effectivement des
valeurs propres de A en recherchant des vecteurs propres associés à ces valeurs. (On prendra,
si c’est le cas, des vecteurs propres tels que leurs troisièmes coordonnées soient égales à 1).
3. La matrice A est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une matrice P et son inverse P
−1 telles
que P
−1 AP soit diagonale.
7.
Soit E un espace vectoriel sur R, rapporté à une base B = (e 1 , e 2 , e 3 ).
Pour tout réel a, on considère l’endomorphisme f a de E défini par
f a (e 2 ) = 0
et
f a (e 1 ) = f a (e 3 ) = a e 1 + e 2 − a e 3 .
1. a. Déterminer une base de mf a .
b. Montrer qu’une base de Kerf a est (e 2 , e 1 − e 3 ).
2. Écrire la matrice A de f a dans B et calculer A
2 . En déduire sans calcul f a ◦ f a
3. On pose e
1 = f a (e 1 ), e
2 = e 1 − e 3 , e
3 = e 3 .
a. Montrer que (e
1 , e
2 , e
3 ) est une base de E.
b. Donner la matrice A
de f a dans cette base.
c. En déduire que 0 est la seule valeur propre de A. A est-elle inversible ? A est-elle
diagonalisable ?
4. Pour tout réel x non nul, on pose B(x) = A − xI, I désignant la matrice identité de M 3 (R).
a. Montrer sans calcul que B(x) est inversible.
b. Calculer (A − xI)(A + xI) puis écrire (B(x))
−1 en fonction de x, I et A.
c. Pour tout n de N, déterminer (B(x))
n en fonction de x, n, I et A.
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3. Soient (u n ), (v n ) deux suites définies par u 0 = 1, v 0 = 1 et
u n+1 =
7u n + 2v n
v n+1 = −4u n + v n
On pose pour n ∈ N, X n =
u n
v n
.
Exprimer X n+1 en fonction de X n .
4. En déduire une expression de X n en fonction de A et de X 0 .
5. Exprimer le terme général de u n et v n en fonction de n.
6.
Soit
A =
7
3 −9
−2 −1
2
2 −1 −4
.
1. Soit Q(X) = X
3
− 2X
2
− 5X + 6.
a. Résoudre dans K l’équation Q(x) = 0.
b. Calculer la matrice A
3
− 2A
2
− 5A + 6I avec I la matrice unité deM 3 (K).
c. Déduire de ces calculs des réels dont font partie les éventuelles valeurs propres de A.
On dit dans cette situation que Q est un polynôme annulateur de A.
2. Déterminer si les réels mis en évidence à la question précédente sont effectivement des
valeurs propres de A en recherchant des vecteurs propres associés à ces valeurs. (On prendra,
si c’est le cas, des vecteurs propres tels que leurs troisièmes coordonnées soient égales à 1).
3. La matrice A est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une matrice P et son inverse P
−1 telles
que P
−1 AP soit diagonale.
7.
Soit E un espace vectoriel sur R, rapporté à une base B = (e 1 , e 2 , e 3 ).
Pour tout réel a, on considère l’endomorphisme f a de E défini par
f a (e 2 ) = 0
et
f a (e 1 ) = f a (e 3 ) = a e 1 + e 2 − a e 3 .
1. a. Déterminer une base de mf a .
b. Montrer qu’une base de Kerf a est (e 2 , e 1 − e 3 ).
2. Écrire la matrice A de f a dans B et calculer A
2 . En déduire sans calcul f a ◦ f a
3. On pose e
1 = f a (e 1 ), e
2 = e 1 − e 3 , e
3 = e 3 .
a. Montrer que (e
1 , e
2 , e
3 ) est une base de E.
b. Donner la matrice A
de f a dans cette base.
c. En déduire que 0 est la seule valeur propre de A. A est-elle inversible ? A est-elle
diagonalisable ?
4. Pour tout réel x non nul, on pose B(x) = A − xI, I désignant la matrice identité de M 3 (R).
a. Montrer sans calcul que B(x) est inversible.
b. Calculer (A − xI)(A + xI) puis écrire (B(x))
−1 en fonction de x, I et A.
c. Pour tout n de N, déterminer (B(x))
n en fonction de x, n, I et A.
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