1.
1. Soit A =
2
4
1 −1
. Déterminer les valeurs propres de la matrice A ; est-elle
diagonalisable ? Déterminer une base de vecteurs propres de A.
2. La matrice B =
1 1
0 1
est-elle diagonalisable dans R ? dans C ?
3. La matrice C =
1 1
−4 1
est-elle diagonalisable dans R ? dans C ?
4. Soit a ∈ R et
A =
a 1
1 a
.
a. Calculer les valeurs propres de A et déterminer une base de vecteurs propres de A.
b. Soit n ∈ N, donner la valeur de A
n .
2.
Pour chacune des matrices suivantes, déterminer leurs valeurs propres et une base
des sous-espaces propres.
1.
1 0 1
0 1 0
1 1 3
2.
−1 2 −2
−6 7 −5
−6 6 −4
3.
1 −2 2
−2
1 2
−2 −2 5
3.
Déterminer les éléments propres de la matrice
A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 1 . . . . . . . . . 1 1
1 0 . . . . . . . . . 0 1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
( 0 )
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
1 0 . . . . . . . . . 0 1
1 1 . . . . . . . . . 1 1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈ M n (R)
4.
Soit n ∈ N
∗ et a ∈ R, déterminer les éléments propres de la matrice
A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a 1 . . . 1
1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 1
1 . . . 1 a
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
∈ M n (R)
5.
Couple de suites récurrentes linéaires
Soit A =
7 2
−4 1
.
1. Déterminer les valeurs propres de A et une base de vecteurs propres de A.
2. En déduire une expression de A
n .
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