Chapitre 3 – Réduction des endomorphismes et des matrices
Une équation de E −2 est
⎧
⎨
⎩
2x + y = 0
2y + z = 0
−4x + 4y + 3z = 0
⇐⇒
y = −2x
z = −2y
d’où E −2 = Vect(1, −2, 4).
Nous en déduisons qu’en posant P =
⎛
⎝
1 1
1
1 2 −2
1 4
4
⎞
⎠ , on a
P
−1 AP =
⎛
⎝
1 0
0
0 2
0
0 0 −2
⎞
⎠ .
Le calcul nous donne P
−1 =
1
12
⎛
⎝
16
0 −4
−6
3
3
2 −3
1
⎞
⎠ .
Par suite
A
n = P
⎛
⎝
1 0
0
0 2
0
0 0 −2
⎞
⎠
n
P
−1
=
⎛
⎝
1 1
1
1 2 −2
1 4
4
⎞
⎠
⎛
⎝
1 0
0
0 2
n
0
0 0 (−2)
n
⎞
⎠ 1
12
⎛
⎝
16
0 −4
−6
3
3
2 −3
1
⎞
⎠
=
1
12
⎛
⎝
1 1
1
1 2 −2
1 4
4
⎞
⎠
⎛
⎝
16
0
−4
−6 · 2
n
3 · 2
n
3 · 2
n
2 · (−2)
n
−3 · (−2)
n
(−2)
n
⎞
⎠
=
1
12
⎛
⎝
16 − 6(2)
n + 2(−2)
n
3(2)
n
− 3(−2)
n
−4 + 3(2)
n + (−2)
n
16 − 12(2)
n
− 4(−2)
n
6(2)
n + 6(−2)
n
−4 + 6(2)
n
− 2(−2)
n
16 − 24(2)
n + 8(−2)
n
12(2)
n
− 12(−2)
n
−4 + 12(2)
n + 4(−2)
n
⎞
⎠ .
Nous en déduisons que pour n ∈ N, on a
X n = A
n X 0
=
1
12
⎛
⎝
16 − 6(2)
n + 2(−2)
n
3(2)
n
− 3(−2)
n
−4 + 3(2)
n + (−2)
n
16 − 12(2)
n
− 4(−2)
n
6(2)
n + 6(−2)
n
−4 + 6(2)
n
− 2(−2)
n
16 − 24(2)
n + 8(−2)
n
12(2)
n
− 12(−2)
n
−4 + 12(2)
n + 4(−2)
n
⎞
⎠
⎛
⎝
0
1
2
⎞
⎠
=
1
12
⎛
⎝
−8 + 9(2)
n
− (−2)
n
−8 + 18(2)
n + 2(−2)
n
−8 + 36(2)
n
− 4(−2)
n
⎞
⎠ .
Donc nous avons pour n ∈ N, on a u n =
−8 + 9(2)
n
− (−2)
n
12
·
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