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Applications de la réduction
Solution. Posons A =
⎛
⎝
0 1 0
0 0 1
−4 4 1
⎞
⎠ et pour n ∈ N, X n =
⎛
⎝
u n
u n+1
u n+2
⎞
⎠ .
La relation de récurrence vérifiée par la suite (u n ) se traduit par la relation matricielle
X n+1 = AX n pour n ∈ N. Par une récurrence nous pouvons montrer que pour n ∈ N, on a
X n = A
n X 0 .
Déterminons la valeur de A
n . Commençons par déterminer les valeurs propres de A en
triangulant la matrice A − lI 3 .
⎛
⎝
−l
1
0
0 −l
1
−4
4 1− l
⎞
⎠ →
⎛
⎝
−4
4 1− l
0 −l
1
−l
1
0
⎞
⎠
L 1 ↔ L 3
→
⎛
⎝
−4
4
1− l
0
−l
1
0 4 − 4l l
2
− l
⎞
⎠
L 3 ← 4L 3 − lL 1
→
⎛
⎝
−4
4
1− l
0
4
l
2
− l − 4
0 4 − 4l
l
2
− l
⎞
⎠ L 2 ← L 3 − 4L 2
→
⎛
⎝
−4 4
1 − l
0 4 l
2
− l − 4
0 0
f (l)
⎞
⎠
L 3 ← L 3 + (l − 1)L 2 ,
avec f (l) = l
2
− l + (l − 1)(l
2
− l − 4)
= l
3
− l
2
− 4l + 4
= (l − 1)(l − 2)(l + 2)
Nous avons factoriser f (l) au vue des racines évidentes 1, 2, −2.
La matrice A − lI 3 n’est pas inversible si et seulement si f (l) = 0, les valeurs propres de A
sont donc 1, 2 et −2.
Une équation de E 1 est
⎧
⎨
⎩
−x + y = 0
−y + z = 0
−4x + 4y = 0
⇐⇒ x = y = z
d’où E 1 = Vect(1, 1, 1).
Une équation de E 2 est
⎧
⎨
⎩
−2x + y = 0
−2y + z = 0
−4x + 4y − z = 0
⇐⇒
y = 2x
z = 2y
d’où E 2 = Vect(1, 2, 4).
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