Chapitre 3 – Réduction des endomorphismes et des matrices
Le calcul nous donne P
−1 =
−1
1
2 −1
. Par suite
A
n
= P
1 0
0 −2
n
P
−1
=
1 1
2 1
1
0
0 (−2)
n
−1
1
2 −1
=
1 1
2 1
−1
1
2(−2)
n
−(−2)
n
=
−1 + 2(−2)
n
1 − (−2)
n
−2 + 2(−2)
n
2 − (−2)
n
.
Nous en déduisons que pour n ∈ N, on a
X n = A
n X 0
=
−1 + 2(−2)
n
1 − (−2)
n
−2 + 2(−2)
n
2 − (−2)
n
0
1
=
1 − (−2)
n
2 − (−2)
n
.
Autrement dit pour n ∈ N, on a
u n = 1 − (−2)
n
et v n = 2 − (−2)
n .
5.3 Suite récurrente linéaire
Supposons que (u n ) soit une suite récurrente linéaire d’ordre 3, telle que pour tout
n ∈ N on ait
u n+3 = au n+2 + bu n+1 + cu n
Posons A =
⎛
⎝
0 1 0
0 0 1
c b a
⎞
⎠ et pour n ∈ N, X n =
⎛
⎝
u n
u n+1
u n+2
⎞
⎠ .
Nous vérifions que l’on a pour tout n ∈ N, X n+1 = AX n .
Nous en déduisons par une récurrence que X n = A
n X 0 . En s’intéressant à la première
ligne de cette équation matricielle, nous trouvons une expression de u n en fonction
de n, u 0 , u 1 et u 2 .
Là encore, on étend facilement ce raisonnement à une suite récurrente linéaire d’ordre
quelconque.
Exercice 6.
Soient (u n ) une suite définie par u 0 = 0, u 1 = 1, u 2 = 2 et la relation
∀n ∈ N, u n+3 = u n+2 + 4u n+1 − 4u n
Déterminer la valeur de u n en fonction de n.
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