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Applications de la réduction
Exercice 5.
Soient (u n ) et (v n ) deux suites définies par u 0 = 0, v 0 = 1 et les relations
∀n ∈ N,
u n+1 = −5u n + 3v n
v n+1 = −6u n + 4v n
Déterminer la valeur de u n et v n en fonction de n.
Solution. Posons A =
−5 3
−6 4
et pour n ∈ N, X n =
u n
v n
.
Les relations de récurrence vérifiées par les suites (u n ) et (v n ) se traduisent par la relation
matricielle X n+1 = AX n pour n ∈ N. Par une récurrence nous pouvons montrer que pour
n ∈ N, on a X n = A
n X 0 .
Déterminons la valeur de A
n . Commençons par déterminer les valeurs propres de A en triangulant la matrice A − lI 2 .
−5 − l
3
−6
4− l
−6
4− l
−5 − l
3
L 1 ↔ L 2
−6
4− l
0 l
2 + l − 2
L 2 ← 6L 2 − (5 + l)L 1
La matrice A − lI 2 n’est pas inversible si et seulement si l
2 + l − 2 = 0. Ce trinôme a pour
racines évidentes 1 et −2, ce sont les valeurs propres de A.
Une équation de E 1 est
−6x + 3y = 0
−6x + 3y = 0
⇐⇒ y = 2x
d’où E 1 = Vect(1, 2).
De même une équation de E −2 est
−3x + 3y = 0
−6x + 6y = 0
⇐⇒ x = y
d’où E −2 = Vect(1, 1).
Nous en déduisons qu’en posant P =
1 1
2 1
, on a
P
−1 AP =
1 0
0 −2
.
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