Chapitre 1 – Espaces vectoriels
N Pour tout élément x de E, 1 · x = x.
D g Pour tout couple (l, m) d’éléments de K et pour tout élément x de E,
(l + m) · x = l · x + m · x.
D d Pour tout l ∈ K et tout couple (x, y) d’éléments de E, l · (x + y) = l · x + l · y.
➤ Remarques
• Les éléments de K sont appelés des scalaires et les éléments de E des vecteurs.
• Sauf mention contraire, les lettres majuscules E, F . . . désigneront des espaces vectoriels sur K, les lettres
minuscules u, v, . . . , ou e1, e2, . . . désigneront des vecteurs et les lettres grecques a, b,. . . , l, m, . . . des
scalaires.
• Le vecteur nul 0E, élément neutre pour l’addition des vecteurs, est unique et nous avons, pour tout scalaire l
et tout vecteur x, l’équivalence lx = 0E ⇐⇒ (l = 0) ou (x = 0E).
• L’opposé d’un vecteur x est unique et nous avons pour tout scalaire l les égalités suivantes
(−l)x = l(−x) = −(lx).
• Tout espace vectoriel contient au moins le vecteur nul et n’est donc pas vide.
Exemples
1. L’ensemble K[X] des polynômes muni des lois habituelles est un K-espace vectoriel.
2. Pour toute valeur des entiers non nuls n et p, l’ensemble M n,p (K) des matrices muni des
lois habituelles est un K-espace vectoriel.
3. Pour toute valeur de l’entier non nul n, l’ensemble K
n
ou M 1,n (K)
des n-uplets de
scalaires est un K-espace vectoriel.
4. L’ensemble C lui-même peut être considéré comme un R-espace vectoriel ou un C-espace
vectoriel.
5. L’ensemble K
N des suites de scalaires muni de l’addition des suites et du produit par un
scalaires est un K-espace vectoriel.
6. L’ensemble R
I des fonctions réelles f définies sur un intervalle I muni de l’addition des
fonctions et du produit par un réel est un R-espace vectoriel.
Définition 2
On appelle famille finie de vecteurs tout n-uplet de n vecteurs où n est un entier naturel
non nul.
➤ Remarques
• Deux familles de vecteurs sont égales si elles sont constituées des mêmes vecteurs dans le même ordre.
• On note habituellement une telle famille (e1, e2, . . . , en) ou (e i ) i∈I avec I un sous-ensemble fini de N.
• On dira que (e i ) i∈J est une sous famille de la famille (e i ) i∈I si l’on a J ⊂ I.
2
N Pour tout élément x de E, 1 · x = x.
D g Pour tout couple (l, m) d’éléments de K et pour tout élément x de E,
(l + m) · x = l · x + m · x.
D d Pour tout l ∈ K et tout couple (x, y) d’éléments de E, l · (x + y) = l · x + l · y.
➤ Remarques
• Les éléments de K sont appelés des scalaires et les éléments de E des vecteurs.
• Sauf mention contraire, les lettres majuscules E, F . . . désigneront des espaces vectoriels sur K, les lettres
minuscules u, v, . . . , ou e1, e2, . . . désigneront des vecteurs et les lettres grecques a, b,. . . , l, m, . . . des
scalaires.
• Le vecteur nul 0E, élément neutre pour l’addition des vecteurs, est unique et nous avons, pour tout scalaire l
et tout vecteur x, l’équivalence lx = 0E ⇐⇒ (l = 0) ou (x = 0E).
• L’opposé d’un vecteur x est unique et nous avons pour tout scalaire l les égalités suivantes
(−l)x = l(−x) = −(lx).
• Tout espace vectoriel contient au moins le vecteur nul et n’est donc pas vide.
Exemples
1. L’ensemble K[X] des polynômes muni des lois habituelles est un K-espace vectoriel.
2. Pour toute valeur des entiers non nuls n et p, l’ensemble M n,p (K) des matrices muni des
lois habituelles est un K-espace vectoriel.
3. Pour toute valeur de l’entier non nul n, l’ensemble K
n
ou M 1,n (K)
des n-uplets de
scalaires est un K-espace vectoriel.
4. L’ensemble C lui-même peut être considéré comme un R-espace vectoriel ou un C-espace
vectoriel.
5. L’ensemble K
N des suites de scalaires muni de l’addition des suites et du produit par un
scalaires est un K-espace vectoriel.
6. L’ensemble R
I des fonctions réelles f définies sur un intervalle I muni de l’addition des
fonctions et du produit par un réel est un R-espace vectoriel.
Définition 2
On appelle famille finie de vecteurs tout n-uplet de n vecteurs où n est un entier naturel
non nul.
➤ Remarques
• Deux familles de vecteurs sont égales si elles sont constituées des mêmes vecteurs dans le même ordre.
• On note habituellement une telle famille (e1, e2, . . . , en) ou (e i ) i∈I avec I un sous-ensemble fini de N.
• On dira que (e i ) i∈J est une sous famille de la famille (e i ) i∈I si l’on a J ⊂ I.
2