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Espaces vectoriels
1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
Nous reprenons et complétons les définitions et propriétés établies dans le livre de première
année, le lecteur s’y référera pour les démonstrations que nous ne reprenons pas en détail.
Dans tout ce chapitre K représente soit l’ensemble des réels R soit celui des complexes C.
1.1 Espaces vectoriels sur K
Définition 1
Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne notée + et d’une loi de
composition externe à opérateurs dans K notée ·. On dit que (E, +, ·) est un K-espace
vectoriel s’il vérifie les dix propriétés suivantes
1. (E, +) est un groupe commutatif, c’est-à-dire que :
O i L’opération + est une loi de composition interne.
A Pour tout triplet (x, y, z) d’éléments de E, on a (x + y) + z = x + (y + z).
N Il existe un élément 0 E dans E, tel que pour tout élément x de E, on a
x + 0 E = 0 E + x = x.
S Pour tout élément x de E, il existe un élément y de E tel que x + y = y + x = 0 E ;
on note cet élément −x.
C Pour tout couple (x, y) d’éléments de E on a x + y = y + x.
2. La loi · vérifie les cinq propriétés suivantes :
O e L’opération · est une loi de composition externe.
A m Pour tout couple (l, m) d’éléments de K et pour tout élément x de E,
l · (m · x) = (lm) · x.
Espaces vectoriels
1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
Nous reprenons et complétons les définitions et propriétés établies dans le livre de première
année, le lecteur s’y référera pour les démonstrations que nous ne reprenons pas en détail.
Dans tout ce chapitre K représente soit l’ensemble des réels R soit celui des complexes C.
1.1 Espaces vectoriels sur K
Définition 1
Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne notée + et d’une loi de
composition externe à opérateurs dans K notée ·. On dit que (E, +, ·) est un K-espace
vectoriel s’il vérifie les dix propriétés suivantes
1. (E, +) est un groupe commutatif, c’est-à-dire que :
O i L’opération + est une loi de composition interne.
A Pour tout triplet (x, y, z) d’éléments de E, on a (x + y) + z = x + (y + z).
N Il existe un élément 0 E dans E, tel que pour tout élément x de E, on a
x + 0 E = 0 E + x = x.
S Pour tout élément x de E, il existe un élément y de E tel que x + y = y + x = 0 E ;
on note cet élément −x.
C Pour tout couple (x, y) d’éléments de E on a x + y = y + x.
2. La loi · vérifie les cinq propriétés suivantes :
O e L’opération · est une loi de composition externe.
A m Pour tout couple (l, m) d’éléments de K et pour tout élément x de E,
l · (m · x) = (lm) · x.