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Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
Définition 3
Un vecteur x de E est dit combinaison linéaire d’une famille (e 1 , e 2 , . . . , e n ) s’il existe n
éléments l 1 , l 2 , . . . , l n de K tels que
x =
n
i=1
l i e i .
L’ensemble des combinaisons linéaires de (e 1 , e 2 , . . . , e n ) est noté Vect(e 1 , e 2 , . . . , e n ).
Exemples
1. Dans l’ensemble K
3 des triplets de scalaires, le vecteur (2, 5, 9) est combinaison linéaire de la famille de vecteurs
(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)
, en effet
(2, 5, 9) = 2(1, 1, 1) + 3(0, 1, 1) + 4(0, 0, 1).
2. Dans l’ensemble des polynômes R[X], on a Vect(X
2 , X, 1) qui est égal à R 2 [X] puisque
nous avons par définition R 2 [X] = {aX
2 + bX + c|(a, b, c) ∈ R
3
}.
3. Dans M 2 (R), posons D =
1 0
0 1
et D =
0 1
−1 0
.
Pour tous scalaires l et m, nous avons alors lD + mD =
l m
−m l
. Nous en déduisons
Vect(D, D) =
l m
−m l
(l, m) ∈ R
2
.
1.2 Sous-espaces vectoriels
Définition
Définition 4
Soient E un espace vectoriel et F un sous-ensemble de E. On dit que F est un sousespace vectoriel de E si F est non vide et s’il vérifie les deux propriétés suivantes.
1. Pour tout couple (x, y) de vecteurs de F, le vecteur x + y appartient à F.
2. Pour tout scalaire l et tout vecteur x de F, le vecteur lx appartient à F.
➤ Remarque
On dira que F est un sous-espace de l’espace vectoriel E s’il est non vide, stable par addition et stable par multiplication par un scalaire.
Exemples
1. Tout espace vectoriel E a toujours au moins deux sous espaces qui sont E lui-même (c’est
le plus grand des sous-espaces de E pour l’inclusion) et {0 E } (c’est le plus petit des sousespaces de E pour l’inclusion).
2. L’ensemble
(x, y, 0)| (x, y) ∈ K
2
est un sous espace vectoriel de K
3 .
Théorème 1
Soit (E, +, ·) un K-espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E.
L’ensemble F est lui-même un espace vectoriel pour les lois + et ·.
3