Chapitre 1 – Espaces vectoriels
Preuve
Il suffit d’observer que (F, +, ·) vérifie les dix propriétés OANSCOANDD caractéristiques des espaces vectoriels.
L’existence dans F de l’opposé de tout élément x de F et de l’élément nul vient de la stabilité de F par la
multiplication par un scalaire : soit x un élément de F, (il en existe au moins un, F = ∅) alors −x = (−1)x et
0E = 0x existent et sont dans F.
❑
Exercice 1.
Soit K[X] le K-espace vectoriel des polynômes sur K. Soient a un scalaire fixé et E a l’ensemble
des polynômes qui s’annulent en a.
Montrer que E a est un sous-espace vectoriel de K[X].
Solution.
Nous avons :
• E a sous-ensemble de K[X] est non vide, il contient le polynôme P = X − a.
• Si P et Q sont deux polynômes tels que P(a) = 0 et Q(a) = 0, alors nous avons
(P + Q)(a) = P(a) + Q(a) = 0 ; P + Q appartient à E a qui est donc stable pour l’addition.
• Si P est un polynôme tel que P(a) = 0 et l un scalaire, alors (lP)(a) = lP(a) = 0 ; lP
appartient à E a qui est donc stable par multiplication par un scalaire.
L’ensemble E a des polynômes qui s’annulent en a est non vide, stable par addition et par
multiplication par un scalaire ; c’est un sous-espace vectoriel de K[X].
Exercice 2.
Soit S l’ensemble des matrices symétriques de tailles 2 × 2 sous ensemble de l’espace vectoriel
M 2 [K]. Nous rappelons qu’une matrice est symétrique si elle est égale à sa transposée, ainsi
S =
r s
s t
(r, s, t) ∈ K
3
. Montrer que S est un sous-espace vectoriel de M 2 [K].
Solution.
Nous avons :
• S est non vide, il contient la matrice nulle.
• Nous savons que pour toutes matrices A et B de même taille
t (A + B) =
t A +
t B ; si A et B
sont deux matrices dans S, leur somme est aussi dans S.
• Nous savons que pour toute matrice A et tout réel l on a
t (lA) = l(
t A) ; si A est une
matrice dans S, alors lA est aussi dans S.
L’ensemble S des matrices 2 × 2 symétriques est non vide, stable par addition et par multiplication par un scalaire ; c’est un sous-espace vectoriel de M 2 [K].
Théorème 2 (Pour démontrer qu’une partie de E est un sous-espace)
Soit F une partie d’un espace vectoriel (E, +, ·). L’ensemble F est un sous-espace de E si
1. F est non vide,
2. ∀(x, y) ∈ F
2
∀(l, m) ∈ K
2
lx + my ∈ F.
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Preuve
Il suffit d’observer que (F, +, ·) vérifie les dix propriétés OANSCOANDD caractéristiques des espaces vectoriels.
L’existence dans F de l’opposé de tout élément x de F et de l’élément nul vient de la stabilité de F par la
multiplication par un scalaire : soit x un élément de F, (il en existe au moins un, F = ∅) alors −x = (−1)x et
0E = 0x existent et sont dans F.
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Exercice 1.
Soit K[X] le K-espace vectoriel des polynômes sur K. Soient a un scalaire fixé et E a l’ensemble
des polynômes qui s’annulent en a.
Montrer que E a est un sous-espace vectoriel de K[X].
Solution.
Nous avons :
• E a sous-ensemble de K[X] est non vide, il contient le polynôme P = X − a.
• Si P et Q sont deux polynômes tels que P(a) = 0 et Q(a) = 0, alors nous avons
(P + Q)(a) = P(a) + Q(a) = 0 ; P + Q appartient à E a qui est donc stable pour l’addition.
• Si P est un polynôme tel que P(a) = 0 et l un scalaire, alors (lP)(a) = lP(a) = 0 ; lP
appartient à E a qui est donc stable par multiplication par un scalaire.
L’ensemble E a des polynômes qui s’annulent en a est non vide, stable par addition et par
multiplication par un scalaire ; c’est un sous-espace vectoriel de K[X].
Exercice 2.
Soit S l’ensemble des matrices symétriques de tailles 2 × 2 sous ensemble de l’espace vectoriel
M 2 [K]. Nous rappelons qu’une matrice est symétrique si elle est égale à sa transposée, ainsi
S =
r s
s t
(r, s, t) ∈ K
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. Montrer que S est un sous-espace vectoriel de M 2 [K].
Solution.
Nous avons :
• S est non vide, il contient la matrice nulle.
• Nous savons que pour toutes matrices A et B de même taille
t (A + B) =
t A +
t B ; si A et B
sont deux matrices dans S, leur somme est aussi dans S.
• Nous savons que pour toute matrice A et tout réel l on a
t (lA) = l(
t A) ; si A est une
matrice dans S, alors lA est aussi dans S.
L’ensemble S des matrices 2 × 2 symétriques est non vide, stable par addition et par multiplication par un scalaire ; c’est un sous-espace vectoriel de M 2 [K].
Théorème 2 (Pour démontrer qu’une partie de E est un sous-espace)
Soit F une partie d’un espace vectoriel (E, +, ·). L’ensemble F est un sous-espace de E si
1. F est non vide,
2. ∀(x, y) ∈ F
2
∀(l, m) ∈ K
2
lx + my ∈ F.
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