© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
➤ Remarque
On peut résumer cette proposition en disant qu’un sous-ensemble F d’un espace vectoriel E est un sous-espace s’il
est non vide et stable par combinaisons linéaires.
Preuve
Il suffit de remarquer que si F vérifie les deux conditions ci-dessus, alors il vérifie la définition des sous-espace.
En effet, F est non vide, puis en prenant l = m = 1 nous obtenons la stabilité de F par addition, en prenant l
quelconque et m = 0 nous obtenons la stabilité de F par multiplication par un scalaire.
❑
Proposition 1 (Intersection de sous-espaces vectoriels)
Toute intersection de sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel est un sous-espace
vectoriel.
Preuve Soit I une intersection de sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E ; 0 appartient à chacun des
sous-espaces donc à I qui est de ce fait non vide ; une combinaison linéaire d’éléments de I appartient à chacun
des sous-espaces donc à leur intersection I.
L’ensemble I est non vide, stable par combinaison linéaire c’est un sous-espace de E.
❑
1.3 Exemples de sous-espaces vectoriels
Les exemples qui suivent sont importants.
Les ensembles K n [X]
Proposition 2
Soit n un entier naturel, l’ensemble K n [X] des polynômes de degré inférieur ou égal à n
est un sous-espace de l’espace vectoriel K[X]
L’ensemble K n [X] des polynômes de degré inférieur ou égal à n est non vide et stable
par combinaison linéaire.
Certains sous-ensembles de l’ensemble des fonctions définies sur un
intervalle I
Proposition 3
Soit I un intervalle non vide de R. L’ensemble C
0 (I, R) des fonctions continues de I dans
R est un sous-espace de l’espace vectoriel R
I des fonctions réelles définies sur I.
Il en est de même pour l’ensembles des fonctions dérivables, de classe C
n ou C ∞ sur
un intervalle I non vide et non réduit à un point.
L’ensemble des solutions d’un système d’équations linéaires homogène
Proposition 4
L’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène est un sous-espace de R
n .
5
Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
➤ Remarque
On peut résumer cette proposition en disant qu’un sous-ensemble F d’un espace vectoriel E est un sous-espace s’il
est non vide et stable par combinaisons linéaires.
Preuve
Il suffit de remarquer que si F vérifie les deux conditions ci-dessus, alors il vérifie la définition des sous-espace.
En effet, F est non vide, puis en prenant l = m = 1 nous obtenons la stabilité de F par addition, en prenant l
quelconque et m = 0 nous obtenons la stabilité de F par multiplication par un scalaire.
❑
Proposition 1 (Intersection de sous-espaces vectoriels)
Toute intersection de sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel est un sous-espace
vectoriel.
Preuve Soit I une intersection de sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E ; 0 appartient à chacun des
sous-espaces donc à I qui est de ce fait non vide ; une combinaison linéaire d’éléments de I appartient à chacun
des sous-espaces donc à leur intersection I.
L’ensemble I est non vide, stable par combinaison linéaire c’est un sous-espace de E.
❑
1.3 Exemples de sous-espaces vectoriels
Les exemples qui suivent sont importants.
Les ensembles K n [X]
Proposition 2
Soit n un entier naturel, l’ensemble K n [X] des polynômes de degré inférieur ou égal à n
est un sous-espace de l’espace vectoriel K[X]
L’ensemble K n [X] des polynômes de degré inférieur ou égal à n est non vide et stable
par combinaison linéaire.
Certains sous-ensembles de l’ensemble des fonctions définies sur un
intervalle I
Proposition 3
Soit I un intervalle non vide de R. L’ensemble C
0 (I, R) des fonctions continues de I dans
R est un sous-espace de l’espace vectoriel R
I des fonctions réelles définies sur I.
Il en est de même pour l’ensembles des fonctions dérivables, de classe C
n ou C ∞ sur
un intervalle I non vide et non réduit à un point.
L’ensemble des solutions d’un système d’équations linéaires homogène
Proposition 4
L’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène est un sous-espace de R
n .
5