Chapitre 1 – Espaces vectoriels
Preuve Soit le système S de p équations à n inconnues.
S :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a1,1x1 + a1,2x2 + · · · + a1,nxn = 0
E1
a2,1x1 + a2,2x2 + · · · + a2,nxn = 0
E2
.
.
.
ap,1x1 + ap,2x2 + · · · + ap,nxn = 0
Ep
Le vecteur nul est solution de S. Si X = (x1, x2, . . . , xn) et X = (x
1 , x
2 , . . . , x
n ) sont deux solutions, nous voyons
facilement que X + X est aussi solution ; si de plus l est scalaire quelconque, lX est aussi solution. L’ensemble
des solutions est donc non vide, stable par addition et par multiplication par un réel, c’est un sous-espace
vectoriel de K
n .
❑
2. Familles de vecteurs génératrices, libres
2.1 Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteur
Proposition 5
Soit (e 1 , e 2 , . . . , e n ) une famille finie de vecteurs de E.
L’ensemble Vect(e 1 , e 2 , . . . , e n ) des combinaisons linéaires de cette famille est un sousespace vectoriel de E, c’est le sous-espace engendré par (e 1 , e 2 , . . . , e n ).
Preuve
Il suffit de vérifier que Vect(e1, e2, . . . , en) est non vide et stable par combinaison linéaire.
❑
Exemples
1. Le sous-espace vectoriel Vect(1, X, X
2 ) de K[X] engendré par (1, X, X
2 ) est le sous-espace
vectoriel K 2 [X] = {aX
2 + bX + c|(a, b, c) ∈ K
3
} des polynômes de degré inférieur ou
égal à 2.
2. Le sous-espace vectoriel de K
3 engendré par
(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)
est le sous-espace
P = {(−y − z, y, z)|(y, z) ∈ K
2
} de l’espace vectoriel K
3 .
On peut observer que les éléments de P sont des triplets solutions de l’équation x+y+z = 0
et réciproquement si (x, y, z) est solution de cette équation, alors il s’écrit (−y − z, y, z) et
est un élément de P. L’ensemble P est donc l’ensemble des solutions de x + y + z = 0.
➤ Remarque
Une manière efficace de montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel est de montrer qu’il est un sous-espace
vectoriel engendré par une famille de vecteurs.
Exercice 3.
Montrer que l’ensemble E =
a + b
b
a
a− b
(a, b) ∈ R
2
est un espace vectoriel sur R.
Solution.
Remarquons que E est un sous-ensemble de l’espace vectoriel M 2 (R).
Posons M 1 =
1 0
1 1
et M 2 =
1
1
0 −1
. Nous avons E =
aM 1 + bM 2 | (a, b) ∈ R
2
,
c’est à dire E = Vect (M 1 , M 2 ) ; l’ensemble E est donc un sous-espace de M 2 (R) et donc un
espace vectoriel.
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Preuve Soit le système S de p équations à n inconnues.
S :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a1,1x1 + a1,2x2 + · · · + a1,nxn = 0
E1
a2,1x1 + a2,2x2 + · · · + a2,nxn = 0
E2
.
.
.
ap,1x1 + ap,2x2 + · · · + ap,nxn = 0
Ep
Le vecteur nul est solution de S. Si X = (x1, x2, . . . , xn) et X = (x
1 , x
2 , . . . , x
n ) sont deux solutions, nous voyons
facilement que X + X est aussi solution ; si de plus l est scalaire quelconque, lX est aussi solution. L’ensemble
des solutions est donc non vide, stable par addition et par multiplication par un réel, c’est un sous-espace
vectoriel de K
n .
❑
2. Familles de vecteurs génératrices, libres
2.1 Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteur
Proposition 5
Soit (e 1 , e 2 , . . . , e n ) une famille finie de vecteurs de E.
L’ensemble Vect(e 1 , e 2 , . . . , e n ) des combinaisons linéaires de cette famille est un sousespace vectoriel de E, c’est le sous-espace engendré par (e 1 , e 2 , . . . , e n ).
Preuve
Il suffit de vérifier que Vect(e1, e2, . . . , en) est non vide et stable par combinaison linéaire.
❑
Exemples
1. Le sous-espace vectoriel Vect(1, X, X
2 ) de K[X] engendré par (1, X, X
2 ) est le sous-espace
vectoriel K 2 [X] = {aX
2 + bX + c|(a, b, c) ∈ K
3
} des polynômes de degré inférieur ou
égal à 2.
2. Le sous-espace vectoriel de K
3 engendré par
(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)
est le sous-espace
P = {(−y − z, y, z)|(y, z) ∈ K
2
} de l’espace vectoriel K
3 .
On peut observer que les éléments de P sont des triplets solutions de l’équation x+y+z = 0
et réciproquement si (x, y, z) est solution de cette équation, alors il s’écrit (−y − z, y, z) et
est un élément de P. L’ensemble P est donc l’ensemble des solutions de x + y + z = 0.
➤ Remarque
Une manière efficace de montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel est de montrer qu’il est un sous-espace
vectoriel engendré par une famille de vecteurs.
Exercice 3.
Montrer que l’ensemble E =
a + b
b
a
a− b
(a, b) ∈ R
2
est un espace vectoriel sur R.
Solution.
Remarquons que E est un sous-ensemble de l’espace vectoriel M 2 (R).
Posons M 1 =
1 0
1 1
et M 2 =
1
1
0 −1
. Nous avons E =
aM 1 + bM 2 | (a, b) ∈ R
2
,
c’est à dire E = Vect (M 1 , M 2 ) ; l’ensemble E est donc un sous-espace de M 2 (R) et donc un
espace vectoriel.
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