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Familles de vecteurs génératrices, libres
L’ensemble des suites définies par une même récurrence linéaire double
Proposition 6
Soit (a, b) ∈ C
2 , avec b = 0, soit E l’ensemble des suites de complexes (u n ) n∈N telle que
∀n ∈ N u n+2 = au n+1 + bu n .
On note l et m les racines de son polynôme caractéristique P = X
2
− aX − b et (x n ) et
(y n ) les suites définie par x n = l
n et par y n = m
n si l = m ou y n = nl
n si l = m.
Alors E est un sous-espace vectoriel de K
N et E = Vect(x n , y n )
Le théorème vu en première année affirmait que E ⊂ Vect(x n , y n ) et il est facile de
vérifier l’inclusion inverse dans le cas l = m et dans le cas l = m.
2.2 Familles génératrices d’un espace vectoriel, familles libres
Définition 5
Soit E un espace vectoriel sur K.
Une famille finie (e 1 , e 2 , . . . , e n ) de n vecteurs de E est dite génératrice de E si pour
tout x ∈ E, il existe n scalaires l 1 , l 2 , . . . , l n tels que x =
n
i=1
l i e i .
On a alors Vect(e 1 , e 2 , . . . , e n ) = E.
➤ Remarque
On dit aussi qu’une famille de vecteurs (e1, e2, . . . , en) engendre le sous-espace vectoriel F si
F = Vect(e1, e2, . . . , en).
Proposition 7 (Propriétés des familles génératrices)
Soient E un espace vectoriel et (e i ) 1in une famille de vecteurs de E.
Soit F = Vect(e 1 , e 2 , . . . , e n ) le sous-espace de E engendré par cette famille.
Si
• on change l’ordre des vecteurs de la famille (e i ) 1in ,
• ou on ajoute à un vecteur de la famille (e i ) 1in une combinaison linéaire des autres,
• ou on multiplie un vecteur de la famille (e i ) 1in par un scalaire non nul,
• ou on ajoute à la famille (e i ) 1in un nombre p d’autres vecteurs de F,
• ou on enlève de la famille (e i ) 1in un de ses vecteurs qui lui-même est une combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille,
alors le sous-espace engendré par chacune de ces nouvelles familles est encore égal à F.
En particulier ceci est vrai pour une famille finie génératrice de E lui même.
Preuve
Voir le cours de première année.
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7
Familles de vecteurs génératrices, libres
L’ensemble des suites définies par une même récurrence linéaire double
Proposition 6
Soit (a, b) ∈ C
2 , avec b = 0, soit E l’ensemble des suites de complexes (u n ) n∈N telle que
∀n ∈ N u n+2 = au n+1 + bu n .
On note l et m les racines de son polynôme caractéristique P = X
2
− aX − b et (x n ) et
(y n ) les suites définie par x n = l
n et par y n = m
n si l = m ou y n = nl
n si l = m.
Alors E est un sous-espace vectoriel de K
N et E = Vect(x n , y n )
Le théorème vu en première année affirmait que E ⊂ Vect(x n , y n ) et il est facile de
vérifier l’inclusion inverse dans le cas l = m et dans le cas l = m.
2.2 Familles génératrices d’un espace vectoriel, familles libres
Définition 5
Soit E un espace vectoriel sur K.
Une famille finie (e 1 , e 2 , . . . , e n ) de n vecteurs de E est dite génératrice de E si pour
tout x ∈ E, il existe n scalaires l 1 , l 2 , . . . , l n tels que x =
n
i=1
l i e i .
On a alors Vect(e 1 , e 2 , . . . , e n ) = E.
➤ Remarque
On dit aussi qu’une famille de vecteurs (e1, e2, . . . , en) engendre le sous-espace vectoriel F si
F = Vect(e1, e2, . . . , en).
Proposition 7 (Propriétés des familles génératrices)
Soient E un espace vectoriel et (e i ) 1in une famille de vecteurs de E.
Soit F = Vect(e 1 , e 2 , . . . , e n ) le sous-espace de E engendré par cette famille.
Si
• on change l’ordre des vecteurs de la famille (e i ) 1in ,
• ou on ajoute à un vecteur de la famille (e i ) 1in une combinaison linéaire des autres,
• ou on multiplie un vecteur de la famille (e i ) 1in par un scalaire non nul,
• ou on ajoute à la famille (e i ) 1in un nombre p d’autres vecteurs de F,
• ou on enlève de la famille (e i ) 1in un de ses vecteurs qui lui-même est une combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille,
alors le sous-espace engendré par chacune de ces nouvelles familles est encore égal à F.
En particulier ceci est vrai pour une famille finie génératrice de E lui même.
Preuve
Voir le cours de première année.
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