Chapitre 1 – Espaces vectoriels
Définition 6
Une famille (e 1 , e 2 , . . . , e n ) est dite libre si pour tout n-uplet de scalaires (l 1 , l 2 , . . . , l n )
on a
n
i=1
l i e i = 0
⇒ (l 1 = l 2 = · · · = l n = 0).
On dit aussi que les vecteurs e 1 , e 2 , . . . , e n sont linéairement indépendants.
Une famille qui n’est pas libre est dite liée.
➤ Remarque
Pour toute famille (e1, e2, . . . , en) de vecteurs, il y a toujours la combinaison linéaire nulle triviale
n
i=1
0e i = 0. Une
famille finie de vecteurs est libre si la seule combinaison linéaire nulle est la combinaison linéaire nulle triviale ; elle
est liée s’il existe une combinaison linéaire nulle non triviale, c’est-à-dire avec des coefficients non tous nuls.
Exemples
1. Toute famille contenant le vecteur nul 0 E est une famille liée, en effet, la combinaison
linéaire des vecteurs de cette famille écrite avec un coefficient égal à 1 pour 0 E et tous les
autres coefficients nuls est une combinaison linéaire nulle non triviale.
2. La famille
(3, 1) , (0, 2)
est-elle une famille libre de vecteurs de R
2 ?
Soient a et b sont deux réels tels que
a(3, 1) + b(0, 2) = 0.
alors (3a, a + 2b) = (0, 0), et donc a = 0 et b = 0.
La famille
(3, 1) , (0, 2)
est libre.
3. La famille
1+X + X
2 , 3+X +5X
2 , 2+X +3X
2
est-elle une famille liée de vecteurs de K 2 [X] ?
Nous remarquons que 1(1+X +X
2 )+1(3+X +5X
2 )−2(2+X +3X
2 ) = 0, il existe donc une
combinaison linéaire nulle non triviale ; la famille
1 + X + X
2 , 3 + X + 5X
2 , 2 + X + 3X
2
est une famille liée.
4. La famille de polynômes (1, X, X
2 , . . . , X
n ) est une famille libre de K[X]. En effet, si
a 0 , a 1 , . . . , a n sont des scalaires tels que
n
i=0
a i X
i = 0 K[X] alors a 0 = a 1 = · · · = a n = 0.
Proposition 8 (Propriétés des familles liées)
Soit E un espace vectoriel.
• Une famille finie de vecteurs liée dont on change l’ordre des vecteurs reste une famille
liée.
• La famille (e 1 ) est liée si, et seulement si, le vecteur e 1 est nul.
• La famille (e 1 , e 2 ) est liée si, et seulement si, l’un des vecteurs est égal à l’autre multiplié
par un scalaire ; on dit dans ce cas que les vecteurs e 1 et e 2 sont colinéaires.
• La famille (e 1 , e 2 , . . . , e n ) est liée si, et seulement si, l’un des e i est égal à une combinaison
linéaire des autres.
Preuve
La preuve est détaillée dans le cours de première année.
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Définition 6
Une famille (e 1 , e 2 , . . . , e n ) est dite libre si pour tout n-uplet de scalaires (l 1 , l 2 , . . . , l n )
on a
n
i=1
l i e i = 0
⇒ (l 1 = l 2 = · · · = l n = 0).
On dit aussi que les vecteurs e 1 , e 2 , . . . , e n sont linéairement indépendants.
Une famille qui n’est pas libre est dite liée.
➤ Remarque
Pour toute famille (e1, e2, . . . , en) de vecteurs, il y a toujours la combinaison linéaire nulle triviale
n
i=1
0e i = 0. Une
famille finie de vecteurs est libre si la seule combinaison linéaire nulle est la combinaison linéaire nulle triviale ; elle
est liée s’il existe une combinaison linéaire nulle non triviale, c’est-à-dire avec des coefficients non tous nuls.
Exemples
1. Toute famille contenant le vecteur nul 0 E est une famille liée, en effet, la combinaison
linéaire des vecteurs de cette famille écrite avec un coefficient égal à 1 pour 0 E et tous les
autres coefficients nuls est une combinaison linéaire nulle non triviale.
2. La famille
(3, 1) , (0, 2)
est-elle une famille libre de vecteurs de R
2 ?
Soient a et b sont deux réels tels que
a(3, 1) + b(0, 2) = 0.
alors (3a, a + 2b) = (0, 0), et donc a = 0 et b = 0.
La famille
(3, 1) , (0, 2)
est libre.
3. La famille
1+X + X
2 , 3+X +5X
2 , 2+X +3X
2
est-elle une famille liée de vecteurs de K 2 [X] ?
Nous remarquons que 1(1+X +X
2 )+1(3+X +5X
2 )−2(2+X +3X
2 ) = 0, il existe donc une
combinaison linéaire nulle non triviale ; la famille
1 + X + X
2 , 3 + X + 5X
2 , 2 + X + 3X
2
est une famille liée.
4. La famille de polynômes (1, X, X
2 , . . . , X
n ) est une famille libre de K[X]. En effet, si
a 0 , a 1 , . . . , a n sont des scalaires tels que
n
i=0
a i X
i = 0 K[X] alors a 0 = a 1 = · · · = a n = 0.
Proposition 8 (Propriétés des familles liées)
Soit E un espace vectoriel.
• Une famille finie de vecteurs liée dont on change l’ordre des vecteurs reste une famille
liée.
• La famille (e 1 ) est liée si, et seulement si, le vecteur e 1 est nul.
• La famille (e 1 , e 2 ) est liée si, et seulement si, l’un des vecteurs est égal à l’autre multiplié
par un scalaire ; on dit dans ce cas que les vecteurs e 1 et e 2 sont colinéaires.
• La famille (e 1 , e 2 , . . . , e n ) est liée si, et seulement si, l’un des e i est égal à une combinaison
linéaire des autres.
Preuve
La preuve est détaillée dans le cours de première année.
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