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Base, dimension d’un espace vectoriel
Proposition 9 (Propriétés des familles libres)
Soient E un espace vectoriel et (e 1 , e 2 , . . . , e n ) une famille de vecteurs.
• Une famille finie de vecteurs libre dont on change l’ordre des vecteurs reste une famille
libre.
• Si la famille (e 1 , e 2 , . . . , e n ) est libre, toute sous-famille de (e 1 , e 2 , . . . , e n ) est aussi libre.
• La famille (e 1 , e 2 , . . . , e n ) est libre si, et seulement si, tout vecteur de Vect(e 1 , e 2 , . . . , e n )
s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire de cette famille.
Preuve
Nous reprenons juste la démonstration du troisième point.
Supposons dans un premier temps avoir une famille (e1, e2, . . . , en) libre. Soit v un vecteur de
Vect(e1, e2, . . . , en) qui s’écrit de deux façons comme combinaison linéaire de cette famille
v =
n
i=1
l i e i =
n
i=1
m i e i
alors
n
i=1
(l i − m i )e i = 0.
Comme la famille (e1, e2, . . . , en) est libre, nous avons l1 −m1 = l2 −m2 = · · · = ln −mn = 0. Autrement
dit l1 = m1, l2 = m2, . . . , ln = mn et le vecteur v s’écrit donc de manière unique comme combinaison
linéaire de la famille (e1, e2, . . . , en).
Réciproquement, donnons-nous une famille (e1, e2, . . . , en) qui vérifie la propriété donnée et prouvons que
cette famille est libre. Soient l1, l2, . . . , ln des scalaires tels que
n
i=1
l i e i = 0, c’est-à-dire
n
i=1
l i e i =
n
i=1
0e i .
De l’unicité de l’écriture d’un vecteur, nous déduisons que l1 = 0, l2 = 0, . . . , ln = 0, c’est-à-dire que la
famille (e1, e2, . . . , en) est libre.
❑
3. Base, dimension d’un espace vectoriel
3.1 Définition
Définition 7
Une famille finie (e 1 , e 2 , . . . , e n ) est une base de E si elle est libre et génératrice, autrement
dit si pour tout x ∈ E il existe un et un seul n-uplet (l 1 , l 2 , . . . , l n ) d’éléments de K tels
que
x =
n
i=1
l i e i .
Les scalaires l 1 , . . . , l n sont appelés coordonnées de x dans la base (e 1 , . . . , e n ), et les
vecteurs l 1 e 1 , . . . , l n e n sont ses composantes.
9
Base, dimension d’un espace vectoriel
Proposition 9 (Propriétés des familles libres)
Soient E un espace vectoriel et (e 1 , e 2 , . . . , e n ) une famille de vecteurs.
• Une famille finie de vecteurs libre dont on change l’ordre des vecteurs reste une famille
libre.
• Si la famille (e 1 , e 2 , . . . , e n ) est libre, toute sous-famille de (e 1 , e 2 , . . . , e n ) est aussi libre.
• La famille (e 1 , e 2 , . . . , e n ) est libre si, et seulement si, tout vecteur de Vect(e 1 , e 2 , . . . , e n )
s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire de cette famille.
Preuve
Nous reprenons juste la démonstration du troisième point.
Supposons dans un premier temps avoir une famille (e1, e2, . . . , en) libre. Soit v un vecteur de
Vect(e1, e2, . . . , en) qui s’écrit de deux façons comme combinaison linéaire de cette famille
v =
n
i=1
l i e i =
n
i=1
m i e i
alors
n
i=1
(l i − m i )e i = 0.
Comme la famille (e1, e2, . . . , en) est libre, nous avons l1 −m1 = l2 −m2 = · · · = ln −mn = 0. Autrement
dit l1 = m1, l2 = m2, . . . , ln = mn et le vecteur v s’écrit donc de manière unique comme combinaison
linéaire de la famille (e1, e2, . . . , en).
Réciproquement, donnons-nous une famille (e1, e2, . . . , en) qui vérifie la propriété donnée et prouvons que
cette famille est libre. Soient l1, l2, . . . , ln des scalaires tels que
n
i=1
l i e i = 0, c’est-à-dire
n
i=1
l i e i =
n
i=1
0e i .
De l’unicité de l’écriture d’un vecteur, nous déduisons que l1 = 0, l2 = 0, . . . , ln = 0, c’est-à-dire que la
famille (e1, e2, . . . , en) est libre.
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3. Base, dimension d’un espace vectoriel
3.1 Définition
Définition 7
Une famille finie (e 1 , e 2 , . . . , e n ) est une base de E si elle est libre et génératrice, autrement
dit si pour tout x ∈ E il existe un et un seul n-uplet (l 1 , l 2 , . . . , l n ) d’éléments de K tels
que
x =
n
i=1
l i e i .
Les scalaires l 1 , . . . , l n sont appelés coordonnées de x dans la base (e 1 , . . . , e n ), et les
vecteurs l 1 e 1 , . . . , l n e n sont ses composantes.
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