Chapitre 1 – Espaces vectoriels
➤ Remarques
• Plus généralement une famille sera appelée base d’un sous-espace vectoriel F si elle est libre et génératrice
pour l’espace vectoriel F.
• On retiendra que si une famille B est une base de l’espace vectoriel E, alors, parce que B est génératrice de
E, tout vecteur de E s’écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de B et, parce que B est libre, cette
écriture est unique.
• Certains des espaces vectoriels que nous rencontrerons ont une base particulièrement simple que l’on appelle
base canonique. Elles sont décrites ci-dessous.
Base canonique de K
n . Définissons dans K
n les vecteurs
e 1 = ( 1 , 0 , 0 , . . . , 0 , 0 )
. . .
e i = (0, . . . , 0 , 1,
i e place
0, . . . , 0)
. . .
e n = ( 0 , 0 , 0 , . . . , 0 , 1 ).
Pour tous scalaires x 1 , x 2 , . . . , x n nous avons
n
i=1
x i e i = (x 1 , x 2 , . . . , x n ).
La famille (e 1 , e 2 , . . . , e n ) engendre bien tous les n-uplets de K
n et si une combinaison
linéaire des vecteurs de cette famille est nulle, les coefficients x i pour 1 i n
doivent être nuls. La famille (e 1 , e 2 , . . . , e n ) est donc libre et génératrice de K
n , c’est
une base de K
n . Cette famille est appelée la base canonique de K
n .
Dans cette base, les coordonnées d’un n-uplet (x 1 , x 2 , . . . , x n ) de K
n sont justement
les éléments x 1 , x 2 , . . . , x n du n-uplet. Ce n’est pas le cas pour toute autre base de K
n .
Base canonique de K n [X]. La famille de polynômes
(1, X, X
2 , . . . , X
n )
est génératrice de K n [X] par définition de K n [X]. Elle est aussi libre puisque tout
polynôme de degré inférieur ou égal à n s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire de cette famille de vecteurs.
Cette famille est appelée la base canonique de K n [X].
Dans cette base, les coordonnées d’un polynôme a 0 + a 1 X + · · · + a n X
n sont justement
les coefficients a 0 , a 1 , a 2 , . . . , a n des termes du polynôme. Ce n’est pas le cas pour
toute autre base de K n [X].
Base canonique de M n,p (K). La base canonique de M n,p (K) n’est pas au programme, elle est cependant similaire à celle de K
n .
Nous définissons dans M n,p (K) les matrices E i,j dont tous les coefficients sont nuls
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➤ Remarques
• Plus généralement une famille sera appelée base d’un sous-espace vectoriel F si elle est libre et génératrice
pour l’espace vectoriel F.
• On retiendra que si une famille B est une base de l’espace vectoriel E, alors, parce que B est génératrice de
E, tout vecteur de E s’écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de B et, parce que B est libre, cette
écriture est unique.
• Certains des espaces vectoriels que nous rencontrerons ont une base particulièrement simple que l’on appelle
base canonique. Elles sont décrites ci-dessous.
Base canonique de K
n . Définissons dans K
n les vecteurs
e 1 = ( 1 , 0 , 0 , . . . , 0 , 0 )
. . .
e i = (0, . . . , 0 , 1,
i e place
0, . . . , 0)
. . .
e n = ( 0 , 0 , 0 , . . . , 0 , 1 ).
Pour tous scalaires x 1 , x 2 , . . . , x n nous avons
n
i=1
x i e i = (x 1 , x 2 , . . . , x n ).
La famille (e 1 , e 2 , . . . , e n ) engendre bien tous les n-uplets de K
n et si une combinaison
linéaire des vecteurs de cette famille est nulle, les coefficients x i pour 1 i n
doivent être nuls. La famille (e 1 , e 2 , . . . , e n ) est donc libre et génératrice de K
n , c’est
une base de K
n . Cette famille est appelée la base canonique de K
n .
Dans cette base, les coordonnées d’un n-uplet (x 1 , x 2 , . . . , x n ) de K
n sont justement
les éléments x 1 , x 2 , . . . , x n du n-uplet. Ce n’est pas le cas pour toute autre base de K
n .
Base canonique de K n [X]. La famille de polynômes
(1, X, X
2 , . . . , X
n )
est génératrice de K n [X] par définition de K n [X]. Elle est aussi libre puisque tout
polynôme de degré inférieur ou égal à n s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire de cette famille de vecteurs.
Cette famille est appelée la base canonique de K n [X].
Dans cette base, les coordonnées d’un polynôme a 0 + a 1 X + · · · + a n X
n sont justement
les coefficients a 0 , a 1 , a 2 , . . . , a n des termes du polynôme. Ce n’est pas le cas pour
toute autre base de K n [X].
Base canonique de M n,p (K). La base canonique de M n,p (K) n’est pas au programme, elle est cependant similaire à celle de K
n .
Nous définissons dans M n,p (K) les matrices E i,j dont tous les coefficients sont nuls
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