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Base, dimension d’un espace vectoriel
sauf celui de la i
ème ligne et de la j
ème colonne qui vaut 1.
j
ème colonne
↓
E i,j =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 · · · 0 · · · 0
. . .
. . .
. . .
0 · · · 1 · · · 0
. . .
. . .
. . .
0 · · · 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
← i
ème
ligne
Pour toute matrice A = (a i,j ) 1in
1jp
, nous avons A = (a i,j ) 1in
1jp
=
n
i=1
p
j=1
a i,j E i,j .
Par ailleurs, si l’on a
n
i=1
p
j=1
a i,j E i,j = 0, les coefficients (a i,j ) 1in
1jp
doivent alors être
tous nuls.
La famille (E i,j ) 1in
1jp
est donc libre et génératrice dans M n,p (K) , c’est la base canonique
de M n,p (K).
Dans cette base, les coordonnées d’une matrice A = (a i,j ) 1in
1jp
sont justement les
coefficients de cette matrice. Ce n’est pas le cas pour toute autre base de M n,p (K).
3.2 Dimension d’un espace vectoriel
Espace vectoriel de dimension finie
Définition 8
Un espace vectoriel E est dit de dimension finie s’il possède une famille génératrice finie
ou s’il est réduit à {0}.
Exemple
Les espaces K
n , K n [X] et M n,p (K) sont des K-espaces de dimension finie, leur base canonique
sont des familles finies qui les engendrent.
Lemme
Soit E un espace vectoriel tel qu’il existe une famille libre L = (e 1 , e 2 , . . . , e k ) de vecteurs
de E et des vecteurs f 1 , f 2 , . . . , f n de E tels que la famille G = (e 1 , e 2 , . . . , e k , f 1 , . . . , f n ) soit
génératrice de E. Alors il existe une famille B contenant L et contenue dans G qui est une
base de E.
Preuve
Voir le cours de première année.
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