Chapitre 1 – Espaces vectoriels
Théorème 3
Tout espace de dimension finie non réduit à {0} admet une base.
Preuve
Soit E un espace vectoriel non réduit à {0} de dimension finie. Il admet donc une famille génératrice finie G qui
contient au moins un vecteur e1 non nul, sinon E serait réduit à {0}. La famille (e1) est libre.
On applique le lemme précédent avec (e1) famille libre et G famille finie génératrice de E.
❑
Théorème de la base incomplète, dimension
Lemme
Soient (e 1 , e 2 , . . . , e n ) et (f 1 , f 2 , . . . , f n+1 ) deux familles de vecteurs de E telles que chacun
des vecteurs de la seconde famille soit combinaison linéaire de la première famille. La
famille (f 1 , f 2 , . . . , f n+1 ) est liée.
Preuve
La démonstration peut se faire par récurrence sur n, elle a été détaillée dans le cours de première année.
❑
➤ Remarques
• Cela veut dire qu’avec n vecteurs, on ne peut pas écrire par combinaison linéaire une famille de n + 1 vecteurs
qui soit libre.
• Plus généralement si n vecteurs (f1, f2, . . . , fn) s’expriment comme combinaison linéaire de p vecteurs
(e1, e2, . . . , ep) où p < n, alors la famille (f1, f2, . . . , fn) est liée. Il suffit en effet de considérer que les vecteurs
f1, f2, . . . , fn sont des combinaisons linéaires des n − 1 vecteurs (e1, e2, . . . , ep, ep+1, . . . , e n−1 ), où l’on a posé
e k = 0 pour k ∈ Úp + 1, n − 1Û et d’appliquer le lemme précédent.
Théorème 4
Soit E un espace non réduit à {0} de dimension finie. Toutes les bases de E ont le même
nombre de vecteurs. Ce nombre est appelé la dimension de l’espace.
Par convention, la dimension de l’espace réduit à {0} est 0.
Preuve
Soient E = (e1, e2, . . . , en) et F = (f1, f2, . . . , fp) deux bases d’un même espace vectoriel E. Comme E est une
famille génératrice, tous les vecteurs de F sont des combinaisons linéaires de la famille E. La famille F étant
libre, on a nécessairement p n. Mais en renversant les rôles, on obtient n p. Donc n = p.
❑
Exemples
1. La base canonique de K
n possédant n vecteurs, K
n est de dimension n.
2. De même la base canonique de K n [X] possédant n + 1 vecteurs, K n [X] est de dimension n + 1.
3. La base canonique de M n,p (K) est composée des n × p vecteurs (E i,j ) 1in
1jp
, l’espace des
matrices de tailles n × p est donc de dimension np.
➤ Remarque
Un espace pour lequel il n’existe pas de famille génératrice finie est dit de dimension infinie. Pour un tel espace,
il n’existe pas de base finie. Nous pouvons citer entre autres l’espace vectoriel des suites de scalaires K N , l’espace
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Théorème 3
Tout espace de dimension finie non réduit à {0} admet une base.
Preuve
Soit E un espace vectoriel non réduit à {0} de dimension finie. Il admet donc une famille génératrice finie G qui
contient au moins un vecteur e1 non nul, sinon E serait réduit à {0}. La famille (e1) est libre.
On applique le lemme précédent avec (e1) famille libre et G famille finie génératrice de E.
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Théorème de la base incomplète, dimension
Lemme
Soient (e 1 , e 2 , . . . , e n ) et (f 1 , f 2 , . . . , f n+1 ) deux familles de vecteurs de E telles que chacun
des vecteurs de la seconde famille soit combinaison linéaire de la première famille. La
famille (f 1 , f 2 , . . . , f n+1 ) est liée.
Preuve
La démonstration peut se faire par récurrence sur n, elle a été détaillée dans le cours de première année.
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➤ Remarques
• Cela veut dire qu’avec n vecteurs, on ne peut pas écrire par combinaison linéaire une famille de n + 1 vecteurs
qui soit libre.
• Plus généralement si n vecteurs (f1, f2, . . . , fn) s’expriment comme combinaison linéaire de p vecteurs
(e1, e2, . . . , ep) où p < n, alors la famille (f1, f2, . . . , fn) est liée. Il suffit en effet de considérer que les vecteurs
f1, f2, . . . , fn sont des combinaisons linéaires des n − 1 vecteurs (e1, e2, . . . , ep, ep+1, . . . , e n−1 ), où l’on a posé
e k = 0 pour k ∈ Úp + 1, n − 1Û et d’appliquer le lemme précédent.
Théorème 4
Soit E un espace non réduit à {0} de dimension finie. Toutes les bases de E ont le même
nombre de vecteurs. Ce nombre est appelé la dimension de l’espace.
Par convention, la dimension de l’espace réduit à {0} est 0.
Preuve
Soient E = (e1, e2, . . . , en) et F = (f1, f2, . . . , fp) deux bases d’un même espace vectoriel E. Comme E est une
famille génératrice, tous les vecteurs de F sont des combinaisons linéaires de la famille E. La famille F étant
libre, on a nécessairement p n. Mais en renversant les rôles, on obtient n p. Donc n = p.
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Exemples
1. La base canonique de K
n possédant n vecteurs, K
n est de dimension n.
2. De même la base canonique de K n [X] possédant n + 1 vecteurs, K n [X] est de dimension n + 1.
3. La base canonique de M n,p (K) est composée des n × p vecteurs (E i,j ) 1in
1jp
, l’espace des
matrices de tailles n × p est donc de dimension np.
➤ Remarque
Un espace pour lequel il n’existe pas de famille génératrice finie est dit de dimension infinie. Pour un tel espace,
il n’existe pas de base finie. Nous pouvons citer entre autres l’espace vectoriel des suites de scalaires K N , l’espace
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