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Base, dimension d’un espace vectoriel
vectoriel des polynômes K[X], l’espace vectoriel R
I des fonctions réelles définies sur un intervalle I, l’espace vectoriel
C
0 (I, R) des fonctions continues d’un intervalle I dans R (c’est un sous-espace de R
I ).
Théorème 5 (Théorème de la base incomplète)
Soit (e 1 , e 2 , . . . , e k ) une famille libre de E espace de dimension n. Il existe des vecteurs
e k+1 , . . . , e n de E tels que (e 1 , e 2 , . . . , e k , e k+1 , . . . , e n ) soit une base de E.
Preuve
Soit L cette famille libre et G une famille génératrice, la famille G formée de la « juxtaposition »des vecteurs de
L et de G est aussi génératrice. On sait alors qu’il existe une base B de E qui contient L et contenue dans G ,
et qui complète bien la famille L.
❑
Théorème 6
Soit E un espace de dimension n.
1. a. Toute famille libre possède au plus n vecteurs.
b. Toute famille libre de n vecteurs est une base.
c. Toute famille de p vecteurs avec p > n n’est pas libre, elle est liée.
2. a. Toute famille génératrice possède au moins n vecteurs.
b. Toute famille génératrice de n vecteurs est une base.
c. Toute famille de p vecteurs avec p < n n’est pas génératrice.
Preuve
Voir le cours de première année.
❑
➤ Remarque
Lorsque l’on travaille dans un espace vectoriel de dimension finie n connue, pour prouver qu’une famille de n
vecteurs est une base, il suffit donc de vérifier qu’elle est soit libre soit génératrice. En générale il est plus rapide
de montrer que la famille est libre.
Exercice 4.
On considère les quatre polynômes P 0 = (X − 1)(X − 2)(X − 3), P 1 = X(X − 2)(X − 3),
P 2 = X(X − 1)(X − 3) et P 3 = X(X − 1)(X − 2).
Démontrer que la famille B = (P 0 , P 1 , P 2 , P 3 ) est une base de K 3 [X].
Solution. Soient l 0 , l 1 , l 2 , l 3 quatre scalaires tels que pour tout x dans K on ait
l 0 P 0 (x) + l 1 P 1 (x) + l 2 P 2 (x) + l 3 P 3 (x) = 0.
Remarquons que pour x = 0 tous les polynômes de B s’annulent sauf P 0 (0) qui vaut −6, en
prenant donc x = 0, nous obtenons −6l 0 = 0, donc l 0 = 0.
En prenant successivement x = 1, x = 2 et x = 3, nous obtenons de même 2l 1 = 0,
−2l 2 = 0 et 6l 3 = 0, donc l 1 = l 2 = l 3 = 0.
La famille B est donc une famille libre de quatre vecteurs dans un espace de dimension 4, elle
est donc une base de K 3 [X].
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Base, dimension d’un espace vectoriel
vectoriel des polynômes K[X], l’espace vectoriel R
I des fonctions réelles définies sur un intervalle I, l’espace vectoriel
C
0 (I, R) des fonctions continues d’un intervalle I dans R (c’est un sous-espace de R
I ).
Théorème 5 (Théorème de la base incomplète)
Soit (e 1 , e 2 , . . . , e k ) une famille libre de E espace de dimension n. Il existe des vecteurs
e k+1 , . . . , e n de E tels que (e 1 , e 2 , . . . , e k , e k+1 , . . . , e n ) soit une base de E.
Preuve
Soit L cette famille libre et G une famille génératrice, la famille G formée de la « juxtaposition »des vecteurs de
L et de G est aussi génératrice. On sait alors qu’il existe une base B de E qui contient L et contenue dans G ,
et qui complète bien la famille L.
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Théorème 6
Soit E un espace de dimension n.
1. a. Toute famille libre possède au plus n vecteurs.
b. Toute famille libre de n vecteurs est une base.
c. Toute famille de p vecteurs avec p > n n’est pas libre, elle est liée.
2. a. Toute famille génératrice possède au moins n vecteurs.
b. Toute famille génératrice de n vecteurs est une base.
c. Toute famille de p vecteurs avec p < n n’est pas génératrice.
Preuve
Voir le cours de première année.
❑
➤ Remarque
Lorsque l’on travaille dans un espace vectoriel de dimension finie n connue, pour prouver qu’une famille de n
vecteurs est une base, il suffit donc de vérifier qu’elle est soit libre soit génératrice. En générale il est plus rapide
de montrer que la famille est libre.
Exercice 4.
On considère les quatre polynômes P 0 = (X − 1)(X − 2)(X − 3), P 1 = X(X − 2)(X − 3),
P 2 = X(X − 1)(X − 3) et P 3 = X(X − 1)(X − 2).
Démontrer que la famille B = (P 0 , P 1 , P 2 , P 3 ) est une base de K 3 [X].
Solution. Soient l 0 , l 1 , l 2 , l 3 quatre scalaires tels que pour tout x dans K on ait
l 0 P 0 (x) + l 1 P 1 (x) + l 2 P 2 (x) + l 3 P 3 (x) = 0.
Remarquons que pour x = 0 tous les polynômes de B s’annulent sauf P 0 (0) qui vaut −6, en
prenant donc x = 0, nous obtenons −6l 0 = 0, donc l 0 = 0.
En prenant successivement x = 1, x = 2 et x = 3, nous obtenons de même 2l 1 = 0,
−2l 2 = 0 et 6l 3 = 0, donc l 1 = l 2 = l 3 = 0.
La famille B est donc une famille libre de quatre vecteurs dans un espace de dimension 4, elle
est donc une base de K 3 [X].
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