Chapitre 1 – Espaces vectoriels
Exercice 5.
On se place dans l’espace vectoriel K n [X].
Soit B = (P 0 , P 1 , . . . , P n ) une famille de n+1 polynômes de K n [X] tels que pour tout i ∈ Ú0, nÛ
on ait deg(P i ) = i. On dit qu’une telle famille de polynômes est échelonnée en degrés.
Démontrer que la famille B est libre, en déduire que c’est une base de K n [X].
Solution. Soient l 0 , l 1 , . . . , l n n + 1 scalaires tels que pour tout x dans K on ait
l 0 P 0 (x) + l 1 P 1 (x) + · · · + l n P n (x) = 0.
Supposons que les l i ne soient pas tous nuls et notons i 0 le plus grand indice i ∈ Ú0, nÛ tel que
l i = 0 et notons ax
i0 , avec a = 0, le terme de plus haut degré de P i0 (x).
Si nous regroupons et ordonnons tous les termes de la somme de polynômes
l 0 P 0 (x) + l 1 P 1 (x) + · · · + l n P n (x), nous pouvons observer que son terme de plus haut degré
est l i0 ax
i0 avec l i0 a = 0 ce qui contredit le fait que cette somme est le polynôme nul. Nous
avons donc l i = 0 pour tout i ∈ Ú0, nÛ et la famille B est une famille libre de n + 1 vecteurs.
Comme B est une famille libre de n + 1 vecteurs dans K n [X], espace de dimension n + 1, elle
est une base de K n [X].
4. Sous-espace vectoriel, somme de sous-espaces vectoriels
4.1 Dimension des sous-espaces d’un espace de dimension finie
Théorème 7
Tout sous-espace vectoriel F d’un espace E de dimension finie est de dimension finie et
dim F dim E ; il y a égalité des dimensions si, et seulement si, F = E.
Preuve
Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace E de dimension n.
Si F est réduit à {0}, on a dim F dim E. On suppose maintenant F non réduit à {0}.
Toutes les familles libres de vecteurs de F étant également des familles libres de vecteurs de E, elles comptent
au plus n éléments.
Il existe au moins une famille libre B de vecteurs de F de cardinal p maximal. Soit
B = (e1, e2, . . . , ep)
a v e cp n.
Montrons que B est une famille génératrice de F. Soit f un vecteur quelconque de F ; la famille (e1, e2, . . . , ep, f)
est liée, sinon la famille B de vecteur libres ne serait pas de cardinal maximal. Soient l1, l2, . . . , lp, lp+1 des
scalaires non tous nuls tels que
l1e1 + l2e2 + · · · + lpep + lp+1f = 0.
Le scalaire lp+1 ne peut pas être nul, sinon nous aurions une contradiction avec la liberté de la famille B. Nous
pouvons donc écrire
f = −
1
lp+1
(l1e1 + l2e2 + · · · + lpep)
et conclure que f est combinaison linéaire de la famille B.
La famille B est donc génératrice de F, elle est libre, c’est une base de F. La dimension de F est p et p n.
De plus si dim(F) = dim(E), c’est-à-dire p = n, alors la famille B est une famille libre de E de n vecteurs. La
famille B est donc une base de E d’où F = E.
Réciproquement si F = E alors il est clair que dim(F) = dim(E).
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Exercice 5.
On se place dans l’espace vectoriel K n [X].
Soit B = (P 0 , P 1 , . . . , P n ) une famille de n+1 polynômes de K n [X] tels que pour tout i ∈ Ú0, nÛ
on ait deg(P i ) = i. On dit qu’une telle famille de polynômes est échelonnée en degrés.
Démontrer que la famille B est libre, en déduire que c’est une base de K n [X].
Solution. Soient l 0 , l 1 , . . . , l n n + 1 scalaires tels que pour tout x dans K on ait
l 0 P 0 (x) + l 1 P 1 (x) + · · · + l n P n (x) = 0.
Supposons que les l i ne soient pas tous nuls et notons i 0 le plus grand indice i ∈ Ú0, nÛ tel que
l i = 0 et notons ax
i0 , avec a = 0, le terme de plus haut degré de P i0 (x).
Si nous regroupons et ordonnons tous les termes de la somme de polynômes
l 0 P 0 (x) + l 1 P 1 (x) + · · · + l n P n (x), nous pouvons observer que son terme de plus haut degré
est l i0 ax
i0 avec l i0 a = 0 ce qui contredit le fait que cette somme est le polynôme nul. Nous
avons donc l i = 0 pour tout i ∈ Ú0, nÛ et la famille B est une famille libre de n + 1 vecteurs.
Comme B est une famille libre de n + 1 vecteurs dans K n [X], espace de dimension n + 1, elle
est une base de K n [X].
4. Sous-espace vectoriel, somme de sous-espaces vectoriels
4.1 Dimension des sous-espaces d’un espace de dimension finie
Théorème 7
Tout sous-espace vectoriel F d’un espace E de dimension finie est de dimension finie et
dim F dim E ; il y a égalité des dimensions si, et seulement si, F = E.
Preuve
Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace E de dimension n.
Si F est réduit à {0}, on a dim F dim E. On suppose maintenant F non réduit à {0}.
Toutes les familles libres de vecteurs de F étant également des familles libres de vecteurs de E, elles comptent
au plus n éléments.
Il existe au moins une famille libre B de vecteurs de F de cardinal p maximal. Soit
B = (e1, e2, . . . , ep)
a v e cp n.
Montrons que B est une famille génératrice de F. Soit f un vecteur quelconque de F ; la famille (e1, e2, . . . , ep, f)
est liée, sinon la famille B de vecteur libres ne serait pas de cardinal maximal. Soient l1, l2, . . . , lp, lp+1 des
scalaires non tous nuls tels que
l1e1 + l2e2 + · · · + lpep + lp+1f = 0.
Le scalaire lp+1 ne peut pas être nul, sinon nous aurions une contradiction avec la liberté de la famille B. Nous
pouvons donc écrire
f = −
1
lp+1
(l1e1 + l2e2 + · · · + lpep)
et conclure que f est combinaison linéaire de la famille B.
La famille B est donc génératrice de F, elle est libre, c’est une base de F. La dimension de F est p et p n.
De plus si dim(F) = dim(E), c’est-à-dire p = n, alors la famille B est une famille libre de E de n vecteurs. La
famille B est donc une base de E d’où F = E.
Réciproquement si F = E alors il est clair que dim(F) = dim(E).
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