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Sous-espace vectoriel, somme de sous-espaces vectoriels
Corollaire 1
Soient F, G deux sous-espaces vectoriels de E. Si F ⊂ G alors dim F dim G ; il y a
égalité des dimensions si, et seulement si, F = G.
Preuve
Il suffit de remarquer que, si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E avec F ⊂ G, alors F est lui-même un
sous-espace de G ; puis appliquer le théorème précédent à F et G.
❑
Définition 9
Soit E un espace de dimension n. On appelle droite vectorielle de E un sous-espace vectoriel de E de dimension 1 et plan vectoriel un sous-espace vectoriel de E de dimension
2.
Exemples
1. En utilisant les vecteurs de la base canonique de R
3 , on voit clairement que
{(x, 0, 0)|x ∈ R} est une droite vectorielle incluse dans
(x, y, 0)|(x, y) ∈ R
2
qui est un
plan vectoriel inclus dans l’espace vectoriel R
3 qui est de dimension 3.
Nous retrouvons ici un vocabulaire classique qui parle de « droite réelle » , pour des
représentation géométrique de l’ensemble des réels, de deux dimensions pour la géométrie
plane et de trois dimensions pour la « géométrie dans l’espace ».
2. Le lecteur pourra vérifier à l’aide de la base canonique que l’espace vectoriel des matrices
carrées M n (K) de dimension n
2 avec n 1, a comme sous-espace celui des matrices
triangulaires supérieures qui est de dimension
n(n + 1)
2
· et qui a lui-même comme sousespace celui des matrices diagonales qui est de dimension n. Il y a égalité entre ces trois
espaces si, et seulement si n = 1.
4.2 Somme de sous-espaces vectoriels
Proposition 10
Soient E un K-espace vectoriel et F 1 , F 2 deux sous-espaces vectoriels de E. L’ensemble
H = {x 1 + x 2 | x 1 ∈ F 1 , x 2 ∈ F 2 }
est un sous-espace vectoriel de E appelé somme de F 1 et F 2 et noté F 1 + F 2 .
Preuve
Tout d’abord H est non vide. En effet, comme 0 ∈ F i pour i ∈ Ú1, 2Û, l’élément 0 + 0 appartient à H.
Ensuite, soient x, y deux éléments de H et l, m deux scalaires. D’après la définition de H, il existe des éléments
x1, x2, y1, y2 tels que x i ∈ F i , y i ∈ F i pour i ∈ {1; 2}, et
x = x1 + x2 et y = y1 + y2.
Alors
lx + my = l (x1 + x2) + m (y1 + y2)
= (lx1 + lx2) + (my1 + my2)
= (lx1 + my1) + (lx2 + my2).
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Sous-espace vectoriel, somme de sous-espaces vectoriels
Corollaire 1
Soient F, G deux sous-espaces vectoriels de E. Si F ⊂ G alors dim F dim G ; il y a
égalité des dimensions si, et seulement si, F = G.
Preuve
Il suffit de remarquer que, si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E avec F ⊂ G, alors F est lui-même un
sous-espace de G ; puis appliquer le théorème précédent à F et G.
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Définition 9
Soit E un espace de dimension n. On appelle droite vectorielle de E un sous-espace vectoriel de E de dimension 1 et plan vectoriel un sous-espace vectoriel de E de dimension
2.
Exemples
1. En utilisant les vecteurs de la base canonique de R
3 , on voit clairement que
{(x, 0, 0)|x ∈ R} est une droite vectorielle incluse dans
(x, y, 0)|(x, y) ∈ R
2
qui est un
plan vectoriel inclus dans l’espace vectoriel R
3 qui est de dimension 3.
Nous retrouvons ici un vocabulaire classique qui parle de « droite réelle » , pour des
représentation géométrique de l’ensemble des réels, de deux dimensions pour la géométrie
plane et de trois dimensions pour la « géométrie dans l’espace ».
2. Le lecteur pourra vérifier à l’aide de la base canonique que l’espace vectoriel des matrices
carrées M n (K) de dimension n
2 avec n 1, a comme sous-espace celui des matrices
triangulaires supérieures qui est de dimension
n(n + 1)
2
· et qui a lui-même comme sousespace celui des matrices diagonales qui est de dimension n. Il y a égalité entre ces trois
espaces si, et seulement si n = 1.
4.2 Somme de sous-espaces vectoriels
Proposition 10
Soient E un K-espace vectoriel et F 1 , F 2 deux sous-espaces vectoriels de E. L’ensemble
H = {x 1 + x 2 | x 1 ∈ F 1 , x 2 ∈ F 2 }
est un sous-espace vectoriel de E appelé somme de F 1 et F 2 et noté F 1 + F 2 .
Preuve
Tout d’abord H est non vide. En effet, comme 0 ∈ F i pour i ∈ Ú1, 2Û, l’élément 0 + 0 appartient à H.
Ensuite, soient x, y deux éléments de H et l, m deux scalaires. D’après la définition de H, il existe des éléments
x1, x2, y1, y2 tels que x i ∈ F i , y i ∈ F i pour i ∈ {1; 2}, et
x = x1 + x2 et y = y1 + y2.
Alors
lx + my = l (x1 + x2) + m (y1 + y2)
= (lx1 + lx2) + (my1 + my2)
= (lx1 + my1) + (lx2 + my2).
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