Chapitre 1 – Espaces vectoriels
Les sous-espaces vectoriels F1 et F2 de E sont stables par combinaisons linéaires donc lx1 + my1 ∈ F1 et
lx2 + my2 ∈ F2. On en déduit que lx + my ∈ H et que H est bien un sous-espace vectoriel de E.
❑
➤ Remarques
• On peut remarquer que F1 + F2 est l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de toutes les familles finies
de vecteurs pris dans F1 ∪ F2.
• Attention, l’union de deux sous-espaces vectoriels n’est pas en général un sous-espace vectoriel.
Exemple
On considère les deux sous-espace F 1 =
(x, y, z, t) ∈ K
4
| 3x − y + z = 0 et t = 0
et
F 2 =
(x, y, z, t) ∈ K
4
| y − z − 2t = 0 et x = 0
de l’espace vectoriel K
4 .
Déterminer une base et la dimension de chacun des sous-espace F 1 , F 2 , F 1 ∩ F 2 , et F 1 + F 2 .
Nous pouvons remarquer rapidement que l’on a
F 1 = Vect
(1, 3, 0, 0), (0, 1, 1, 0)
F 2 = Vect
(0, 1, 1, 0), (0, 0, −2, 1)
.
Les vecteurs e 1 = (1, 3, 0, 0), e 2 = (0, 1, 1, 0) et e 3 = (0, 0, −2, 1) sont linéairement indépendants.
Nous en déduisons que (e 1 , e 2 ) est une base de F 1 qui donc est de dimension 2 et de même
(e 2 , e 3 ) est une base de F 2 qui est aussi de dimension 2.
Considérons alors un élément x de F 1 ∩F 2 qui s’écrit donc l 1 e 1 +l 2 e 2 d’une part et l
2 e 2 +l
3 e 3
d’autre part avec l 1 , l 2 , l
2 et l
3 des scalaires. Nous avons donc l’égalité
l 1 e 1 + l 2 e 2 + 0e 3 = 0e 1 + l
2 e 2 + l
3 e 3 .
Nous en déduisons l 1 = l
3 = 0 et l 2 = l
2 . Donc x est dans Vect(e 2 ). Inversement nous
avons Vect(e 2 ) ⊂ F 1 ∩ F 2 , donc F 1 ∩ F 2 = Vect(e 2 ) et (e 1 ) est une base de F 1 ∩ F 2 qui est de
dimension 1.
Considérons maintenant un élément x = x 1 + x 2 de F 1 + F 2 avec x 1 = l 1 e 1 + l 2 e 2 ∈ F 1
et x 2 = l
2 e 2 + l
3 e 3 ∈ F 2 ; alors x est un dans Vect(e 1 , e 2 , e 3 ). Inversement toute élément
x = l 1 e 1 + l 2 e 2 + l 3 e 3 de Vect(e 1 , e 2 , e 3 ) est un élément de F 1 + F 2 puisqu’il peut s’écrire
x = (l 1 e 1 +l 2 e 2 )+l 3 e 3 ou tout aussi bien x = l 1 e 1 +(l 2 e 2 +l 3 e 3 ), donc F 1 +F 2 = Vect(e 1 , e 2 , e 3 )
et (e 1 , e 2 , e 3 ) est une base de F 1 + F 2 qui est de dimension 3.
➤ Remarques
• Dans l’exemple ci-dessus, on a e1 ∈ F1 ∪ F2 et e3 ∈ F1 ∪ F2 mais e1 + e3 /
∈ F1 ∪ F2 ce qui montre que F1 ∪ F2
n’est pas un sous-espace vectoriel.
• De façon générale, lorsque l’on a deux sous-espaces vectoriels F1 et F2 d’un espace de dimension finie, on peut
toujours rechercher une base de F1 ∩F2 puis la compléter pour obtenir d’une part une base de F1 et d’autre part
une base de F2 et finalement en prenant l’union des vecteurs de ces deux bases obtenir une base de F1 + F2.
• Dans l’exemple ci-dessus la décomposition d’un élément x de F1 + F2 en x1 + x2 avec x1 ∈ F1 et x2 ∈ F2 n’est
pas unique puisque e2 appartient aussi bien à F1 qu’à F2, ce qui suggère d’introduire la définition suivante.
Définition 10
Soient F 1 et F 2 deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. La somme F 1 + F 2
est dite directe si F 1 ∩ F 2 = {0}. Elle est alors notée F 1 ⊕ F 2 .
16
Les sous-espaces vectoriels F1 et F2 de E sont stables par combinaisons linéaires donc lx1 + my1 ∈ F1 et
lx2 + my2 ∈ F2. On en déduit que lx + my ∈ H et que H est bien un sous-espace vectoriel de E.
❑
➤ Remarques
• On peut remarquer que F1 + F2 est l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de toutes les familles finies
de vecteurs pris dans F1 ∪ F2.
• Attention, l’union de deux sous-espaces vectoriels n’est pas en général un sous-espace vectoriel.
Exemple
On considère les deux sous-espace F 1 =
(x, y, z, t) ∈ K
4
| 3x − y + z = 0 et t = 0
et
F 2 =
(x, y, z, t) ∈ K
4
| y − z − 2t = 0 et x = 0
de l’espace vectoriel K
4 .
Déterminer une base et la dimension de chacun des sous-espace F 1 , F 2 , F 1 ∩ F 2 , et F 1 + F 2 .
Nous pouvons remarquer rapidement que l’on a
F 1 = Vect
(1, 3, 0, 0), (0, 1, 1, 0)
F 2 = Vect
(0, 1, 1, 0), (0, 0, −2, 1)
.
Les vecteurs e 1 = (1, 3, 0, 0), e 2 = (0, 1, 1, 0) et e 3 = (0, 0, −2, 1) sont linéairement indépendants.
Nous en déduisons que (e 1 , e 2 ) est une base de F 1 qui donc est de dimension 2 et de même
(e 2 , e 3 ) est une base de F 2 qui est aussi de dimension 2.
Considérons alors un élément x de F 1 ∩F 2 qui s’écrit donc l 1 e 1 +l 2 e 2 d’une part et l
2 e 2 +l
3 e 3
d’autre part avec l 1 , l 2 , l
2 et l
3 des scalaires. Nous avons donc l’égalité
l 1 e 1 + l 2 e 2 + 0e 3 = 0e 1 + l
2 e 2 + l
3 e 3 .
Nous en déduisons l 1 = l
3 = 0 et l 2 = l
2 . Donc x est dans Vect(e 2 ). Inversement nous
avons Vect(e 2 ) ⊂ F 1 ∩ F 2 , donc F 1 ∩ F 2 = Vect(e 2 ) et (e 1 ) est une base de F 1 ∩ F 2 qui est de
dimension 1.
Considérons maintenant un élément x = x 1 + x 2 de F 1 + F 2 avec x 1 = l 1 e 1 + l 2 e 2 ∈ F 1
et x 2 = l
2 e 2 + l
3 e 3 ∈ F 2 ; alors x est un dans Vect(e 1 , e 2 , e 3 ). Inversement toute élément
x = l 1 e 1 + l 2 e 2 + l 3 e 3 de Vect(e 1 , e 2 , e 3 ) est un élément de F 1 + F 2 puisqu’il peut s’écrire
x = (l 1 e 1 +l 2 e 2 )+l 3 e 3 ou tout aussi bien x = l 1 e 1 +(l 2 e 2 +l 3 e 3 ), donc F 1 +F 2 = Vect(e 1 , e 2 , e 3 )
et (e 1 , e 2 , e 3 ) est une base de F 1 + F 2 qui est de dimension 3.
➤ Remarques
• Dans l’exemple ci-dessus, on a e1 ∈ F1 ∪ F2 et e3 ∈ F1 ∪ F2 mais e1 + e3 /
∈ F1 ∪ F2 ce qui montre que F1 ∪ F2
n’est pas un sous-espace vectoriel.
• De façon générale, lorsque l’on a deux sous-espaces vectoriels F1 et F2 d’un espace de dimension finie, on peut
toujours rechercher une base de F1 ∩F2 puis la compléter pour obtenir d’une part une base de F1 et d’autre part
une base de F2 et finalement en prenant l’union des vecteurs de ces deux bases obtenir une base de F1 + F2.
• Dans l’exemple ci-dessus la décomposition d’un élément x de F1 + F2 en x1 + x2 avec x1 ∈ F1 et x2 ∈ F2 n’est
pas unique puisque e2 appartient aussi bien à F1 qu’à F2, ce qui suggère d’introduire la définition suivante.
Définition 10
Soient F 1 et F 2 deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. La somme F 1 + F 2
est dite directe si F 1 ∩ F 2 = {0}. Elle est alors notée F 1 ⊕ F 2 .
16