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Sous-espace vectoriel, somme de sous-espaces vectoriels
Proposition 11
Soient F 1 et F 2 deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. La somme F 1 + F 2
est directe si, et seulement si, pour tout élément x de F 1 + F 2 , il existe un et un seul couple
(x 1 , x 2 ) ∈ F 1 × F 2 tel que x = x 1 + x 2 .
Preuve
Supposons que la somme soit directe. Soit x ∈ F1 ⊕ F2, supposons avoir deux écritures de x
x = x1 + x2
= y1 + y2
où x1, y1 sont des vecteurs de F1 et x2, y2 deux vecteurs de F2. On a alors x1 − y1 = x2 − y2. Comme F1 est
un sous-espace, on sait que x1 − y1 ∈ F1, de même x2 − y2 ∈ F2. Donc x1 − y1 ∈ F1 ∩ F2. Or F1 ∩ F2 = {0},
donc x1 − y1 = 0. On en déduit que x1 = y1 et par suite x2 = y2. L’écriture est bien unique.
Réciproquement, supposons que F1 et F2 vérifient la propriété donnée. Soit x ∈ F1 ∩ F2. On peut écrire les
deux égalités
x =
x
∈F1
+ 0
∈F2
=
0
∈F1
+ x
∈F2
.
D’après l’unicité de la décomposition on doit avoir x = 0. Ainsi F1 ∩ F2 = {0} et la somme est bien directe.
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Définition 11
Soient F 1 et F 2 deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. F 1 et F 2 sont dits
supplémentaires si E = F 1 ⊕ F 2 .
➤ Remarque
On dit aussi que F2 est un sous-espace supplémentaire du sous-espace F1 par exemple.
Exemples
1. Montrons que les ensembles P et I des fonction paires et impaires définies sur R sont des
espaces supplémentaires de l’ensemble R
R des fonctions réelles définies sur R.
Il est clair que chacun des ensembles P et I est non vide et stable par combinaison linéaire ;
ce sont donc bien des sous-espaces vectoriels de R
R .
Soit f ∈ R
R , nous allons prouver qu’il existe un unique couple (f 1 , f 2 ) ∈ P × I tel que
f = f 1 + f 2 .
Supposons avoir f 1 une fonction paire et f 2 une fonction impaire telles que f = f 1 + f 2 . On
a alors pour tout réel x
f (x) = f 1 (x) + f 2 (x)
et
f (−x) = f 1 (−x) + f 2 (−x)
= f 1 (x) − f 2 (x).
Par demi-somme et demi-différence, on trouve
f 1 (x) =
f (x) + f (−x)
2
f 2 (x) =
f (x) − f (−x)
2
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