Chapitre 3 – Réduction des endomorphismes et des matrices
de la base canonique à la base B, c’est-à-dire
P =
⎛
⎝
0 −1 −1
−2
0
1
1
1
1
⎞
⎠ .
Nous avons P
−1 AP = Diag(2, 1, −1).
Le calcul de l’inverse de P nous donne P
−1 =
⎛
⎝
1
0
1
−3 −1 −2
2
1
2
⎞
⎠ .
Exercice 2.
Soit B =
⎛
⎝
4 −3 −1
4 −3 −2
−1
1
2
⎞
⎠ . Déterminer si la matrice B peut être diagonalisée dans R.
Solution. Commençons par chercher les valeurs propres de B en triangulant la matrice B − lI 3
(où l ∈ R)
⎛
⎝
4 − l
−3
−1
4
−3 − l −2
−1
1
2− l
⎞
⎠
⎛
⎝
−1
1
2− l
4
−3 − l −2
4 − l
−3
−1
⎞
⎠
L 1 ↔ L 3
⎛
⎝
−1
1
2− l
0 1 − l
6 − 4l
0 1 − l (4 − l)(2 − l) − 1
⎞
⎠ L 2 ← L 2 + 4L 1
L 3 ← L 3 + (4 − l)L 1
⎛
⎝
−1
1
2− l
0 1 − l
6 − 4l
0
0
l
2
− 2l + 1
⎞
⎠
L 3 ← L 3 − L 2
Les valeurs propres de B sont les solutions des équations 1 − l = 0 et l
2
− 2l + 1 = 0.
La seule valeur propre est donc 1.
Déterminons une base de E 1 . Une équation de E 1 est
−x + y + z = 0
2z = 0
⇐⇒
x = y
z = 0
On en déduit que E 1 = Vect(1, 1, 0). En particulier dim(E 1 ) = 1. La somme des dimensions des sous-espaces propres, qui vaut 1, est différente de la dimension de R
3 , B n’est pas
diagonalisable.
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