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Diagonalisation des matrices carrées
Nous avons factoriser f (l) en notant que 1 et −1 sont des racines évidentes du polynôme f (l).
La matrice A − lI 3 n’est pas inversible si, et seulement si, f (l) est nul, la matrice A a donc 3
valeurs propres qui sont 2, 1 et −1 ; nous sommes en dimension 3, nous en déduisons que A
est diagonalisable (voir théorème 3).
Posons M(l) =
⎛
⎝
−3 −2
−2 − l
0
2
l
2 + l − 2
0
0 (l − 2)(1 − l)(1 + l)
⎞
⎠ .
Soient l un scalaire et un vecteur X ∈ M 3,1 (K) avec X =
⎛
⎝
x
y
z
⎞
⎠ . On a alors
X ∈ E l ⇐⇒ (A − lI 3 )X = 0
et d’après l’étude des systèmes linéaires, puisque M(l) est déduit de A−lI 3 à l’aide d’opérations
élémentaires sur les lignes, on sait que ce système équivaut à M(l)X = 0.
On en déduit en particulier que
X ∈ E 2 ⇐⇒ M(2)X = 0 ⇐⇒
⎛
⎝
−3 −2 −4
0
2
4
0
0
0
⎞
⎠
⎛
⎝
x
y
z
⎞
⎠ = 0
⇐⇒
−3x − 2y − 4z = 0
2y + 4z = 0
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x = 0
y = −2z
z = z
Soit E 2 = Vect(0, −2, 1).
De même une équation de E 1 est
−3x − 2y − 3z = 0
2y = 0
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x = −z
y = 0
z = z
d’où E 1 = Vect(−1, 0, 1).
Enfin une équation de E −1 est
−3x − 2y − z = 0
2y − 2z = 0
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x = −z
y = z
z = z
d’où E −1 = Vect(−1, 1, 1).
La famille B =
(0, −2, 1), (−1, 0, 1), (−1, 1, 1)
est une famille de trois vecteurs propres
associés aux trois valeurs propres distinctes 2, 1 et −1. C’est donc une famille libre de K
3 ,
espace de dimension 3. On en déduit que B est une base de K
3 . Soit P la matrice de passage
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